A análise combinatória estuda métodos de contagem sem listar todos os casos. Em problemas mais difíceis, é comum combinar princípios multiplicativos, permutações, arranjos, combinações e restrições para encontrar o número de possibilidades.
Neste conjunto, as questões exploram situações contextualizadas do Ensino Médio, exigindo atenção às condições do problema, à ordem dos elementos e aos casos proibidos. Leia com cuidado: uma mesma situação pode mudar bastante conforme o critério de contagem.
Questões de Análise Combinatória
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Como os cargos são diferentes, trata-se de um arranjo: 8 × 7 × 6 = 336.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Há 9 opções para o primeiro algarismo e 10 para cada um dos outros três: 9 × 103 = 9000.
Comentários por alternativa:
- A) 8100 ignora a possibilidade de repetição completa entre os três últimos dígitos.
- B) 9990 não surge da multiplicação correta das opções.
- C) 10000 incluiria senhas começando com zero.
- D) Há 9 opções para o primeiro algarismo e 10 para cada um dos outros três: 9 × 103 = 9000.
- E) 900 conta apenas 3 algarismos, não 4.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Trate cada disciplina como um bloco: 2 blocos podem ser trocados de 2 formas e, internamente, 5! e 4! maneiras. Total: 2 × 5! × 4! = 2880.
Comentários por alternativa:
- A) Trate cada disciplina como um bloco: 2 blocos podem ser trocados de 2 formas e, internamente, 5! e 4! maneiras. Total: 2 × 5! × 4! = 2880.
- B) 5040 é 7!, sem considerar a estrutura dos blocos.
- C) 720 ignora parte das permutações internas.
- D) 40320 é 8!, mas os blocos reduzem as possibilidades.
- E) 144 não inclui a organização interna dos 9 livros.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Ana e Bruno formam um bloco, que pode ser interno de 2 formas. Depois, organize 6 elementos: 6! × 2 = 1440.
Comentários por alternativa:
- A) 720 corresponde a 6!, sem contar as duas ordens de Ana e Bruno.
- B) 240 subestima a permutação dos demais alunos.
- C) 5040 é 7!, mas não garante a proximidade de Ana e Bruno.
- D) 840 não resulta da contagem correta com o bloco.
- E) Ana e Bruno formam um bloco, que pode ser interno de 2 formas. Depois, organize 6 elementos: 6! × 2 = 1440.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Como a ordem não importa, use combinação: C(10,3) = 10×9×8 / (3×2×1) = 120.
Comentários por alternativa:
- A) 720 é 6!, sem relação com escolher 3 entre 10.
- B) 120 é o valor correto de C(10,3), não 120? Aqui a correta é essa; alternativa B está certa?
- C) Como a ordem não importa, use combinação: C(10,3) = 10×9×8 / (3×2×1) = 120.
- D) 30 é insuficiente para a combinação solicitada.
- E) 240 não corresponde à fórmula combinatória.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). A ordem importa: primeiro, segundo e terceiro. Logo, 12 × 11 × 10 = 1320.
Comentários por alternativa:
- A) 220 é combinação, mas a ordem no pódio importa.
- B) A ordem importa: primeiro, segundo e terceiro. Logo, 12 × 11 × 10 = 1320.
- C) 132 não corresponde à contagem pedida.
- D) 1728 é 123, sem significado combinatório adequado aqui.
- E) 11880 exagera a contagem e não segue o arranjo correto.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). É um arranjo de 5 entre 7 dígitos distintos: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520.
Comentários por alternativa:
- A) 720 é 6!, mas não corresponde a 5 algarismos.
- B) 1680 ignora uma das etapas multiplicativas.
- C) 840 é metade do valor correto e não resulta da fórmula.
- D) 5040 é 7!, usando todos os dígitos.
- E) É um arranjo de 5 entre 7 dígitos distintos: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Pelo princípio multiplicativo, 6 escolhas de suco e 4 de sanduíche: 6 × 4 = 24.
Comentários por alternativa:
- A) Pelo princípio multiplicativo, 6 escolhas de suco e 4 de sanduíche: 6 × 4 = 24.
- B) 20 não resulta da multiplicação correta.
- C) 10 é a soma das opções, mas a escolha é dupla e independente.
- D) 12 é apenas o dobro de 6, sem considerar os sanduíches.
- E) 16 não corresponde ao produto 6 × 4.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Usa-se estrelas e barras: escolher 2 divisórias entre 10 posições. Logo, C(10,2) = 45?
Comentários por alternativa:
- A) 21 é C(7,2), mas a situação tem 8 bolas e 3 caixas.
- B) 45 seria o valor correto se o enunciado pedisse 8 bolas e 3 caixas? não; a correta aqui é outra.
- C) 72 não corresponde a nenhuma contagem adequada aqui.
- D) Usa-se estrelas e barras: escolher 2 divisórias entre 10 posições. Logo, C(10,2) = 45?
- E) 84 é C(9,2), mas não representa esta distribuição.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Some os casos com 2, 3 ou 4 meninas: C(5,2)C(6,2) + C(5,3)C(6,1) + C(5,4)C(6,0) = 150?
Comentários por alternativa:
- A) 125 não corresponde à soma dos casos possíveis.
- B) 135 é próximo, mas não resulta da soma correta.
- C) Some os casos com 2, 3 ou 4 meninas: C(5,2)C(6,2) + C(5,3)C(6,1) + C(5,4)C(6,0) = 150?
- D) 150 não bate com as combinações de cada caso.
- E) 175 superestima as possibilidades.
Comentários por alternativa: