Questões sobre função logarítmica

A função logarítmica aparece em situações em que uma grandeza cresce ou decresce de forma multiplicativa, como pH, intensidade sonora, escalas de terremotos e análise de dados. No Ensino Médio, seu estudo envolve domínio positivo, base maior que zero e diferente de 1, interpretação de gráficos e resolução de equações e inequações.

Nesta lista, as questões exploram propriedades dos logaritmos e da função logarítmica em contextos variados. A ideia é verificar não só contas algébricas, mas também leitura de comportamento da função, comparação de valores e interpretação de modelos reais.

Questões sobre função logarítmica

Questão 01

Em um laboratório, a concentração de íons H⁺ em uma solução é 10^-4 mol/L. Qual é o valor do pH dessa solução, sabendo que pH = -log10[H⁺] ?

A)-4, pois o expoente da concentração é mantidoB)4, pois pH = -log10(10^-4)C)10⁴, porque o logaritmo inverte a potênciaD)0,4, pois o sinal negativo reduz o valorE)14, porque pH e pOH somam 14

Gabarito: alternativa B). Usa-se log10(10^-4) = -4, então pH = 4.

Comentários por alternativa:

A) O pH não preserva o expoente; há o sinal negativo na definição.
B) Usa-se log10(10^-4) = -4, então pH = 4.
C) Logaritmo não devolve potência desse modo.
D) O valor não é decimal; o cálculo é exato.
E) A soma pH + pOH não foi informada e não determina este caso.

Questão 02

A função f(x) = log2(x – 3) está definida para quais valores reais de x?

A)Para todos os reais, porque o logaritmo existe para qualquer númeroB)Para x maior ou igual a 3, pois logaritmo aceita zeroC)Para x menor que 3, pois o logaritmo cresce para argumentos negativosD)Para x maior que 3, pois o argumento do logaritmo deve ser positivoE)Para x diferente de 3, pois o único problema está no ponto 3

Gabarito: alternativa D). É preciso x – 3 > 0, então x > 3.

Comentários por alternativa:

A) A função logarítmica real não está definida para qualquer número.
B) Zero não pertence ao domínio do logaritmo.
C) Argumentos negativos não pertencem ao domínio real do logaritmo.
D) É preciso x – 3 > 0, então x > 3.
E) Não basta excluir 3; é necessário que x – 3 seja positivo.

Questão 03

Resolva a equação log3(x) + log3(x – 2) = 2.

A)x = 3, pois o produto dos argumentos vira 9B)x = -3, pois o logaritmo pode compensar o valor negativoC)x = 2, porque um dos termos zera a somaD)x = 5, pois 3 e 2 somam 5E)x = 1, porque log3(1) vale 0

Gabarito: alternativa A). Somando os logaritmos, log3(x(x-2)) = 2, então x(x-2)=9 e x=3 no domínio.

Comentários por alternativa:

A) Somando os logaritmos, log3(x(x-2)) = 2, então x(x-2)=9 e x=3 no domínio.
B) x negativo não pertence ao domínio dos logaritmos dados.
C) x = 2 anula um argumento, o que é inválido.
D) Soma de números não resolve a equação logarítmica.
E) log3(1)=0, mas não satisfaz a equação proposta.

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Questão 04

A função g(x) = log10(x) representa a escala de um som. Se a intensidade sonora dobra de I para 2I, qual é a variação em g, isto é, log10(2I) – log10(I)?

A)0, porque os logaritmos se cancelam completamenteB)2, porque a intensidade foi multiplicada por 2C)log10(I), porque o valor da intensidade é mantidoD)1, porque dobrar equivale a somar uma unidade no logaritmo decimalE)log10(2), pois a diferença vira o logaritmo da razão

Gabarito: alternativa E). Pela propriedade, a diferença é log10(2I/I) = log10(2).

Comentários por alternativa:

A) Os termos não se cancelam; resta o logaritmo da razão.
B) Dobrar a intensidade não soma 2 ao logaritmo.
C) O resultado depende da razão entre as intensidades, não de log10(I).
D) A variação não vale 1 em base 10 quando a intensidade dobra.
E) Pela propriedade, a diferença é log10(2I/I) = log10(2).

Questão 05

Considere h(x) = log1/2(x). Qual é o comportamento da função quando x aumenta de 1/4 para 1/2 e depois para 1?

A)Os valores aumentam, pois a base é menor que 1 e a função é crescenteB)Os valores ficam constantes, porque o logaritmo depende só da baseC)Os valores diminuem, pois a função é decrescente nesse domínioD)Os valores alternam sem padrão, pois a base fracionária gera oscilaçãoE)Os valores são sempre positivos, porque x é positivo

Gabarito: alternativa C). Com base entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente.

Comentários por alternativa:

A) Base menor que 1 torna a função decrescente, não crescente.
B) A função não é constante; depende de x.
C) Com base entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente.
D) Não há oscilação; há monotonia decrescente.
E) O sinal do logaritmo não depende apenas de x ser positivo.

Questão 06

Em uma escala sísmica, a magnitude M é dada por M = log10(A/A0). Se a amplitude A de um tremor é 1000 vezes A0, qual é a magnitude?

A)1000, porque a razão é diretamente a magnitudeB)3, pois 1000 = 10³C)1/3, porque o expoente passa para o denominadorD)10, pois log10 de 1000 é 10E)0, porque a referência A0 cancela a medida

Gabarito: alternativa B). Como 1000 = 10³, temos M = log10(1000) = 3.

Comentários por alternativa:

A) A magnitude é logarítmica, não a razão bruta.
B) Como 1000 = 10³, temos M = log10(1000) = 3.
C) O expoente não se transforma em fração assim.
D) log10(1000) vale 3, não 10.
E) A referência não zera a grandeza; ela forma a razão.

Questão 07

Uma população de bactérias é modelada por N(t) = 2000 · 3^t. Em quantas horas a população atingirá 54000 bactérias?

A)5 horas, porque o crescimento exponencial demora a alcançar o valorB)2 horas, porque 2000 · 3² já passa de 50000C)4 horas, porque a base 3 cresce rapidamenteD)1 hora, porque a população triplica uma vezE)3 horas, porque 2000 · 3³ = 54000

Gabarito: alternativa E). Temos 2000·3^t = 54000, então 3^t = 27 e t = 3.

Comentários por alternativa:

A) 5 horas dá 486000, muito acima do valor pedido.
B) Em 2 horas, a população é 18000, não 54000.
C) 4 horas resultaria em 162000 bactérias.
D) 1 hora dá 6000 bactérias, ainda longe do alvo.
E) Temos 2000·3^t = 54000, então 3^t = 27 e t = 3.

Questão 08

Resolva a inequação log2(x) > 3.

A)x > 8, pois o logaritmo cresce com a base 2B)x < 8, porque o logaritmo inverte o sinal da desigualdadeC)x > 3, pois o expoente 3 vira limite diretoD)x < 2, porque o domínio do logaritmo é restritoE)x = 8, pois é o único valor que satisfaz a desigualdade

Gabarito: alternativa A). Como a base é maior que 1, preserva-se a ordem: x > 2³ = 8.

Comentários por alternativa:

A) Como a base é maior que 1, preserva-se a ordem: x > 2³ = 8.
B) A desigualdade não inverte com base maior que 1.
C) O limite é 2³, não apenas 3.
D) O domínio é x > 0, mas a solução é mais restrita.
E) Inequação tem intervalo de soluções, não um único ponto.

Questão 09

O gráfico da função f(x) = log10(x) passa por qual ponto?

A)(-1, 0), porque o oposto de 1 também gera zeroB)(0, 1), pois o logaritmo de zero vale umC)(10, 10), pois a base e o argumento coincidemD)(1, 0), pois log10(1) = 0E)(2, 1), porque log10(2) é exatamente 1

Gabarito: alternativa D). Todo logaritmo de 1 é 0, então o ponto (1,0) pertence ao gráfico.

Comentários por alternativa:

A) Argumentos negativos não estão no domínio real.
B) x=0 não pertence ao domínio da função logarítmica.
C) log10(10)=1, não 10.
D) Todo logaritmo de 1 é 0, então o ponto (1,0) pertence ao gráfico.
E) log10(2) não é 1; é um valor entre 0 e 1.

Questão 10

Se log5(x) = 2 e log5(y) = -1, qual é o valor de log5(x/y)?

A)-3, porque o quociente inverte o sinalB)1, pois os expoentes se subtraem de outra formaC)3, pois log5(x/y) = log5(x) – log5(y)D)10, já que 5² dividido por 5^-1 gera 10E)0, porque x e y se anulam na divisão

Gabarito: alternativa C). Usando a propriedade do quociente, 2 – (-1) = 3.

Comentários por alternativa:

A) O sinal não fica negativo nesse caso.
B) O resultado correto da subtração é 3.
C) Usando a propriedade do quociente, 2 – (-1) = 3.
D) 5²/5^-1 = 5³, e log5 disso vale 3, não 10.
E) Não há cancelamento automático; depende dos valores de x e y.

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