Racionalizar o denominador é transformar uma fração que tem raiz no denominador em outra equivalente, com denominador racional. Esse procedimento aparece em simplificações algébricas, resolução de equações, geometria e até em fórmulas da física. No 9º ano, esse tema costuma ser um passo importante para consolidar a ideia de equivalência entre expressões e o uso de produtos notáveis, especialmente quando surgem denominadores com uma raiz ou com soma e diferença de radicais.
Nas questões mais difíceis, não basta aplicar uma regra mecânica: é preciso observar fatores comuns, identificar quando usar o conjugado e simplificar com cuidado depois da racionalização. Muitos erros acontecem ao multiplicar apenas o denominador, esquecer de distribuir no numerador ou confundir o produto de conjugados. As situações a seguir exploram esses pontos em contextos variados, exigindo atenção algébrica e interpretação correta das expressões.
Questões de racionalização 9º ano
Questão 01
Gabarito: alternativa A). Correto. Multiplicando numerador e denominador por √3, obtém-se 5√3/3.
Questão 02
Gabarito: alternativa A). Correto. Multiplica-se por √5/√5, resultando em 7√5/(2·5) = 7√5/10.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Multiplica-se por √5/√5, resultando em 7√5/(2·5) = 7√5/10.
- B) O numerador foi dobrado sem justificativa ao racionalizar.
- C) O fator 2 do denominador foi desconsiderado no resultado final.
- D) A escrita mantém radical no denominador, então não está racionalizada.
- E) A raiz foi tratada como se valesse 1, o que modifica a expressão.
Questão 03
Gabarito: alternativa D). Correto. Usa-se o conjugado √7 + 2; no denominador, 7 – 4 = 3, que simplifica com o 3.
Comentários por alternativa:
- A) Após racionalizar, ainda falta considerar o fator 3 do numerador original.
- B) Antes da simplificação, o denominador correto seria 3, não fica essa forma final.
- C) Multiplicar pelo mesmo binômio não racionaliza o denominador com radical.
- D) Correto. Usa-se o conjugado √7 + 2; no denominador, 7 – 4 = 3, que simplifica com o 3.
- E) O denominador deveria surgir de 7 – 4, não de 7 + 4 ou 5.
Questão 04
Gabarito: alternativa A). Correto. Com o conjugado, fica 4(√6 – √2)/(6 – 2) = √6 – √2.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Com o conjugado, fica 4(√6 – √2)/(6 – 2) = √6 – √2.
- B) Faltou simplificar por 4 após usar o conjugado no denominador.
- C) Foi usado o binômio sem racionalizar corretamente o denominador inicial.
- D) O sinal deveria trocar no conjugado para racionalizar a soma de radicais.
- E) Essa forma intermediária simplifica para (√6 – √2)/2, ainda incorreta.
Questão 05
Gabarito: alternativa A). Correto. Multiplicando pelo conjugado 3 + √5, obtém-se 2(3 + √5)/(9 – 5) = (3 + √5)/2.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Multiplicando pelo conjugado 3 + √5, obtém-se 2(3 + √5)/(9 – 5) = (3 + √5)/2.
- B) Faltou dividir por 2 após a racionalização.
- C) Essa é uma forma equivalente intermediária, mas ainda não simplificada completamente.
- D) Foi usado o binômio original em vez do conjugado.
- E) O denominador não vem de 32, mas de 9 – 5 = 4.
Questão 06
Gabarito: alternativa A). Correto. Multiplicando por √5/√5, resulta em √15/5.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Multiplicando por √5/√5, resulta em √15/5.
- B) Os radicais não podem ser trocados por números racionais dessa forma.
- C) √3·√5 = √15, e não √8.
- D) Faltou dividir pelo novo denominador 5 após racionalizar.
- E) A expressão foi transformada sem manter equivalência algébrica.
Questão 07
Gabarito: alternativa A). Correto. As frações viram √2 – 1 e √2 + 1; somando, obtém-se 2√2.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. As frações viram √2 – 1 e √2 + 1; somando, obtém-se 2√2.
- B) Corresponde a metade da soma correta após racionalizar os dois termos.
- C) Os termos constantes se cancelam, mas os radicais se somam.
- D) A soma correta não mantém termo constante, pois -1 e +1 se anulam.
- E) Mistura soma de constantes com radical sem considerar o cancelamento.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. 2√3 racionaliza para 6 ao multiplicar por √3, e o numerador fica √15 + √3.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. 2√3 racionaliza para 6 ao multiplicar por √3, e o numerador fica √15 + √3.
- B) O fator 2 não entra na raiz nesse processo de racionalização.
- C) Racionalizar o denominador não exige retirar radicais do numerador.
- D) O denominador não é binômio, então não se usa conjugado nesse caso.
- E) Ainda há √3 no denominador, logo a fração não estava racionalizada.
Questão 09
Gabarito: alternativa A). Correto. O conjugado gera 11 – 7 = 4 no denominador, ficando 5(√11 – √7)/4.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. O conjugado gera 11 – 7 = 4 no denominador, ficando 5(√11 – √7)/4.
- B) Foi usado sinal inadequado; a soma de radicais pede conjugado com diferença.
- C) O denominador correto é 4, não 18.
- D) Após o conjugado, o denominador não permanece 11 isoladamente.
- E) Faltou o fator 5/4, essencial para manter equivalência.
Questão 10
Gabarito: alternativa A). Correto. Multiplicando por 2 + √3, o denominador vira 4 – 3 = 1, restando 2 + √3.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Multiplicando por 2 + √3, o denominador vira 4 – 3 = 1, restando 2 + √3.
- B) Essa forma não é equivalente; usar o binômio original não racionaliza.
- C) O denominador não resulta em 7, mas em 1.
- D) O termo racional 2 foi alterado indevidamente para 1.
- E) A parte racional correta é 2, não 1.
Comentários por alternativa: