50 questões de geometria analítica DOC

Para calcular a equação da reta, usamos a fórmula da inclinação (m). A inclinação m é dada por (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁). Aplicando A(2, 3) e B(4, 7), temos m = (7 – 3)/(4 – 2) = 2. Agora, usando A para determinar b na equação y = mx + b, temos 3 = 2(2) + b, portanto, b = -1. A equação da reta é y = 2x – 1.

A equação de um círculo no plano cartesiano tem a forma (x – h)² + (y – k)² = r², onde (h, k) é o centro e r é o raio. No caso, (h, k) = (1, 2) e r = 3. Portanto, a expressão fica (x – 1)² + (y – 2)² = 3². Expandindo, temos x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 – 9 = 0, que simplifica para x² + y² – 2x – 4y – 6 = 0.

Para determinar a equação da reta através de A(0, 0) e C(2, 3), calculamos a inclinação m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁) = (3 – 0)/(2 – 0) = 3/2. Utilizando A, temos b = 0. Portanto, a equação correta da reta é y = (3/2)x.

A área do retângulo é encontrada pela multiplicação da base pelo altura. Neste caso, a largura é 6 (de 0 a 6) e a altura é 4 (de 0 a 4). Portanto, a área é 6 * 4 = 24 unidades quadradas.

Para encontrar o ponto de interseção, estabelecemos que 3x + 1 = -2x + 5. Resolvendo a equação, temos 5x = 4, logo x = 4/5 ou 0,8. Em seguida, substituímos este valor em uma das equações; assim, y = 3(0,8) + 1 resulta em y = 4. Assim, a interseção está em (1, 4).

Para calcular a distância, utilizamos a fórmula d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]. Substituindo, temos d = √[(3 – (-2))² + (5 – 1)²] = √[(5)² + (4)²] = √(25 + 16) = √41, que é aproximadamente igual a 5,83 unidades.

O ponto médio M é calculado como M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Para P(2, 4) e Q(6, 8), temos: M = ((2 + 6)/2, (4 + 8)/2) = (4, 6).

Para calcular a distância do ponto R(4,5) à reta 2x + 3y – 6 = 0, utilizamos a fórmula d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). Assim, d = |2(4) + 3(5) – 6| / √(2² + 3²) = |8 + 15 – 6| / √(4 + 9) = |17| / √13 ≈ 1,49 unidades, ou aproximadamente 1 unidade.

A área do paralelogramo é dada por base x altura. A base é a distância entre A e B, ou seja, 5 – 1 = 4. A altura é a distância entre a linha que conecta A e B e a linha que conecta C e D, que é a diferença entre as coordenadas y, resultando em 3 – 1 = 2. Portanto, a área é 4 x 2 = 8 unidades quadradas.

A soma das distâncias de cada ponto P na elipse até os focos é dada pela equação 2a, onde a é o semi-eixo maior. Aqui, a soma é 10, então 2a = 10, resultando em a = 5. Os focos se encontram nos pontos (0, ±2), portanto, c = 2. Assim, temos b² = a² – c² = 25 – 4 = 21 ou b = √21. A equação da elipse se torna x²/25 + y²/4 = 1, considerando os eixos maior e menor adequadamente.