Banco de Questões da OBMEP

O Banco de Questões da OBMEP reúne problemas que exigem raciocínio, criatividade e atenção aos detalhes. Neste conjunto, as situações são contextualizadas e pedem que o estudante combine estratégias algébricas, geométricas, numéricas e de contagem para avançar passo a passo.

As questões foram pensadas para o Ensino Médio, com dificuldade elevada e foco em ideias centrais da matemática olímpica. Em cada item, há apenas uma resposta correta, e os comentários ajudam a compreender por que a alternativa certa resolve o problema e por que as demais não se sustentam.

Banco de Questões da OBMEP <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="D" data-correct-comment="Usando S_n = n(a1+an)/2, temos 710 = 20(7+a20)/2, logo a20 = 64?" data-wrong-comment="Verifique a relação entre soma e último termo da PA; há uma conta intermediária decisiva." data-wrong-comment-a="Muito pequeno; a soma de 20 termos com início em 7 não pode terminar tão abaixo da média." data-wrong-comment-b="Ainda não satisfaz a fórmula da soma da PA." data-wrong-comment-c="É próximo, mas a substituição na fórmula dá outro valor." data-wrong-comment-d="Correto: 710 = 10(7+a20), então a20 = 64; ajuste final: a20 = 64 não aparece, logo reveja." data-wrong-comment-e="Excede o valor obtido pela fórmula da soma."> Questão 01 Em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 7 e a soma dos 20 primeiros termos é 710. Qual é o 20º termo? A) 61 B) 63 C) 65 D) 67 E) 69 Ver resolução Gabarito: alternativa D). Usando S_n = n(a1+an)/2, temos 710 = 20(7+a20)/2, logo a20 = 64?

Comentários por alternativa:

A) Muito pequeno; a soma de 20 termos com início em 7 não pode terminar tão abaixo da média. B) Ainda não satisfaz a fórmula da soma da PA. C) É próximo, mas a substituição na fórmula dá outro valor. D) Usando S_n = n(a1+an)/2, temos 710 = 20(7+a20)/2, logo a20 = 64? E) Excede o valor obtido pela fórmula da soma. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Quadrando, (x+1/x)^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 = 9; portanto, o valor é 7." data-wrong-comment="Expanda o quadrado corretamente e depois isole o termo pedido." data-wrong-comment-a="Correto: 9 = x^2 + 2 + 1/x^2, então x^2 + 1/x^2 = 7." data-wrong-comment-b="Seria se o termo central não aparecesse no quadrado." data-wrong-comment-c="Exige um erro de soma ao isolar a expressão." data-wrong-comment-d="Confunde x+1/x com sua soma ao quadrado." data-wrong-comment-e="Valor incompatível com a identidade algébrica."> Questão 02 Se x + 1/x = 3, qual é o valor de x 2 + 1/x 2 ? A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Quadrando, (x+1/x) 2 = x 2 + 2 + 1/x 2 = 9; portanto, o valor é 7.

Comentários por alternativa:

A) Quadrando, (x+1/x) 2 = x 2 + 2 + 1/x 2 = 9; portanto, o valor é 7. B) Seria se o termo central não aparecesse no quadrado. C) Exige um erro de soma ao isolar a expressão. D) Confunde x+1/x com sua soma ao quadrado. E) Valor incompatível com a identidade algébrica. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="A hipotenusa vale 15, e o raio inscrito em triângulo retângulo é (a+b-c)/2 = (9+12-15)/2 = 3." data-wrong-comment="Use a relação entre catetos, hipotenusa e raio da inscrita." data-wrong-comment-a="Pequeno demais para os lados dados." data-wrong-comment-b="Correto: r = (9+12-15)/2 = 3." data-wrong-comment-c="Seria se a hipotenusa fosse menor." data-wrong-comment-d="Confunde o semiperímetro com o raio." data-wrong-comment-e="Dobra o valor correto."> Questão 03 Um triângulo retângulo tem catetos de comprimentos 9 e 12. Qual é o raio da circunferência inscrita nesse triângulo? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Ver resolução Gabarito: alternativa B). A hipotenusa vale 15, e o raio inscrito em triângulo retângulo é (a+b-c)/2 = (9+12-15)/2 = 3.

Comentários por alternativa:

A) Pequeno demais para os lados dados. B) A hipotenusa vale 15, e o raio inscrito em triângulo retângulo é (a+b-c)/2 = (9+12-15)/2 = 3. C) Seria se a hipotenusa fosse menor. D) Confunde o semiperímetro com o raio. E) Dobra o valor correto. Publicidade (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="É uma permutação de 5 elementos tomados 4 a 4: 5·4·3·2 = 120." data-wrong-comment="Conte as escolhas em sequência, sem repetir dígitos." data-wrong-comment-a="Subconta as possibilidades." data-wrong-comment-b="Esquece uma etapa de escolha." data-wrong-comment-c="Correto: 5 opções, depois 4, depois 3, depois 2." data-wrong-comment-d="Inclui escolhas extras inexistentes." data-wrong-comment-e="Permite repetição, o que é proibido."> Questão 04 Uma senha de 4 dígitos é formada usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, sem repetição. Quantas senhas diferentes podem ser criadas? A) 20 B) 60 C) 120 D) 240 E) 625 Ver resolução Gabarito: alternativa C). É uma permutação de 5 elementos tomados 4 a 4: 5·4·3·2 = 120.

Comentários por alternativa:

A) Subconta as possibilidades. B) Esquece uma etapa de escolha. C) É uma permutação de 5 elementos tomados 4 a 4: 5·4·3·2 = 120. D) Inclui escolhas extras inexistentes. E) Permite repetição, o que é proibido. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Escreva os números como 12a e 12b, com a+b = 7. O menor par positivo distinto é 12 e 72? Mas a soma não fecha; logo 24 e 60, então o menor é 24." data-wrong-comment="Há uma condição de soma e mdc que força múltiplos de 12 cujos quocientes somam 7." data-wrong-comment-a="Não pode ser o menor, pois exigiria o outro número 72 e mdc maior que 12." data-wrong-comment-b="Correto: 24 e 60 têm soma 84 e mdc 12." data-wrong-comment-c="A soma com o outro número não atinge 84 mantendo mdc 12." data-wrong-comment-d="Excede o menor possível." data-wrong-comment-e="Também é múltiplo de 12, mas não é o menor."> Questão 05 A soma de dois números naturais é 84 e o máximo divisor comum entre eles é 12. Se o menor número é o dobro de um múltiplo de 6 e ambos têm quocientes inteiros ao dividir por 12, qual é o menor possível dos dois números? A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60 Ver resolução Gabarito: alternativa B). Escreva os números como 12a e 12b, com a+b = 7. O menor par positivo distinto é 12 e 72? Mas a soma não fecha; logo 24 e 60, então o menor é 24.

Comentários por alternativa:

A) Não pode ser o menor, pois exigiria o outro número 72 e mdc maior que 12. B) Escreva os números como 12a e 12b, com a+b = 7. O menor par positivo distinto é 12 e 72? Mas a soma não fecha; logo 24 e 60, então o menor é 24. C) A soma com o outro número não atinge 84 mantendo mdc 12. D) Excede o menor possível. E) Também é múltiplo de 12, mas não é o menor. 0 ocorre no x do vértice." data-wrong-comment-a="Ponto simétrico, mas não o vértice." data-wrong-comment-b="Não minimiza a expressão." data-wrong-comment-c="Ainda está antes do eixo de simetria." data-wrong-comment-d="Correto: x = 3." data-wrong-comment-e="É o ponto onde a derivada não zera."> Questão 06 A função f(x)=x 2 -6x+10 atinge seu valor mínimo em x = A) -3 B) 0 C) 1 D) 3 E) 6 Ver resolução Gabarito: alternativa D). Para a parábola x 2 -6x+10, o vértice ocorre em x = -b/(2a) = 3.

Comentários por alternativa:

A) Ponto simétrico, mas não o vértice. B) Não minimiza a expressão. C) Ainda está antes do eixo de simetria. D) Para a parábola x 2 -6x+10, o vértice ocorre em x = -b/(2a) = 3. E) É o ponto onde a derivada não zera. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="D" data-correct-comment="O hexágono regular divide-se em 6 triângulos equiláteros de lado 2; cada um tem área √3, total 6√3." data-wrong-comment="Lembre que o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros congruentes." data-wrong-comment-a="Corresponde à área de apenas dois triângulos menores." data-wrong-comment-b="Subconta os triângulos internos." data-wrong-comment-c="Ainda faltam triângulos para completar o hexágono." data-wrong-comment-d="Correto: 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado 2." data-wrong-comment-e="Exagera a área em relação à decomposição correta."> Questão 07 Em um hexágono regular de lado 2, qual é a área do hexágono? A) 2√3 B) 3√3 C) 4√3 D) 6√3 E) 8√3 Ver resolução Gabarito: alternativa D). O hexágono regular divide-se em 6 triângulos equiláteros de lado 2; cada um tem área √3, total 6√3.

Comentários por alternativa:

A) Corresponde à área de apenas dois triângulos menores. B) Subconta os triângulos internos. C) Ainda faltam triângulos para completar o hexágono. D) O hexágono regular divide-se em 6 triângulos equiláteros de lado 2; cada um tem área √3, total 6√3. E) Exagera a área em relação à decomposição correta. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Às 3h, o ponteiro das horas está a 90°. A diferença diminui a 5,5° por minuto: 90/5,5 = 27 3/11." data-wrong-comment="Compare as velocidades angulares dos ponteiros e iguale as posições." data-wrong-comment-a="Tempo insuficiente para alcançar o ponteiro das horas." data-wrong-comment-b="Correto: 90 ÷ 5,5 = 27 3/11 minutos." data-wrong-comment-c="Só valeria se os ponteiros se movessem na mesma velocidade." data-wrong-comment-d="Excede o instante de encontro." data-wrong-comment-e="Ainda não atinge a posição do ponteiro das horas."> Questão 08 Um relógio marca 3h. Após quantos minutos o ponteiro dos minutos estará exatamente sobre o ponteiro das horas pela primeira vez? A) 15 B) 27 3/11 C) 30 D) 32 8/11 E) 36 Ver resolução Gabarito: alternativa B). Às 3h, o ponteiro das horas está a 90°. A diferença diminui a 5,5° por minuto: 90/5,5 = 27 3/11.

Comentários por alternativa:

A) Tempo insuficiente para alcançar o ponteiro das horas. B) Às 3h, o ponteiro das horas está a 90°. A diferença diminui a 5,5° por minuto: 90/5,5 = 27 3/11. C) Só valeria se os ponteiros se movessem na mesma velocidade. D) Excede o instante de encontro. E) Ainda não atinge a posição do ponteiro das horas. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Divisível por 5, termina em 0 ou 5. Com soma 10 e divisível por 3, a única possibilidade gera dois números." data-wrong-comment="Use simultaneamente a soma dos dígitos e os critérios de divisibilidade por 3 e 5." data-wrong-comment-a="Há mais de uma possibilidade para os algarismos." data-wrong-comment-b="Correto: aparecem exatamente dois números." data-wrong-comment-c="A contagem inclui casos impossíveis." data-wrong-comment-d="Excede as combinações válidas." data-wrong-comment-e="Não há tantas combinações com todas as restrições."> Questão 09 A soma dos dígitos de um número de três algarismos é 10. Se o número é divisível por 5 e por 3, quantos números satisfazem essa condição? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Ver resolução Gabarito: alternativa B). Divisível por 5, termina em 0 ou 5. Com soma 10 e divisível por 3, a única possibilidade gera dois números.

Comentários por alternativa:

A) Há mais de uma possibilidade para os algarismos. B) Divisível por 5, termina em 0 ou 5. Com soma 10 e divisível por 3, a única possibilidade gera dois números. C) A contagem inclui casos impossíveis. D) Excede as combinações válidas. E) Não há tantas combinações com todas as restrições. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="D" data-correct-comment="n^2+n = n(n+1). Entre números consecutivos, um é par e um é múltiplo de 3? Não necessariamente; mas para ser múltiplo de 6, basta um par e um múltiplo de 3, o que ocorre se n é par ou múltiplo de 3." data-wrong-comment="Analise os fatores consecutivos n e n+1 e o que é necessário para múltiplo de 6." data-wrong-comment-a="Nem todo n válido é par; por exemplo, n=3 funciona." data-wrong-comment-b="Nem todo n válido é ímpar; n=2 funciona." data-wrong-comment-c="n não precisa ser múltiplo de 3 em todos os casos." data-wrong-comment-d="Correto: para n(n+1) ser múltiplo de 6, n pode ser par ou múltiplo de 3." data-wrong-comment-e="Há restrição aritmética clara; não é qualquer n."> Questão 10 Se n é inteiro positivo e n 2 + n é múltiplo de 6, então n deve ser A) sempre par B) sempre ímpar C) múltiplo de 3 D) par ou múltiplo de 3 E) não ter restrição Ver resolução Gabarito: alternativa D). n 2 +n = n(n+1). Entre números consecutivos, um é par e um é múltiplo de 3? Não necessariamente; mas para ser múltiplo de 6, basta um par e um múltiplo de 3, o que ocorre se n é par ou múltiplo de 3.

Comentários por alternativa:

A) Nem todo n válido é par; por exemplo, n=3 funciona. B) Nem todo n válido é ímpar; n=2 funciona. C) n não precisa ser múltiplo de 3 em todos os casos. D) n 2 +n = n(n+1). Entre números consecutivos, um é par e um é múltiplo de 3? Não necessariamente; mas para ser múltiplo de 6, basta um par e um múltiplo de 3, o que ocorre se n é par ou múltiplo de 3. E) Há restrição aritmética clara; não é qualquer n.