O Banco de Questões da OBMEP reúne problemas que exigem raciocínio, criatividade e atenção aos detalhes. Neste conjunto, as situações são contextualizadas e pedem que o estudante combine estratégias algébricas, geométricas, numéricas e de contagem para avançar passo a passo.
As questões foram pensadas para o Ensino Médio, com dificuldade elevada e foco em ideias centrais da matemática olímpica. Em cada item, há apenas uma resposta correta, e os comentários ajudam a compreender por que a alternativa certa resolve o problema e por que as demais não se sustentam.
Banco de Questões da OBMEP
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Usando S_n = n(a1+an)/2, temos 710 = 20(7+a20)/2, logo a20 = 64?
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Quadrando, (x+1/x)2 = x2 + 2 + 1/x2 = 9; portanto, o valor é 7.
Comentários por alternativa:
- A) Confunde x+1/x com sua soma ao quadrado.
- B) Seria se o termo central não aparecesse no quadrado.
- C) Exige um erro de soma ao isolar a expressão.
- D) Quadrando, (x+1/x)2 = x2 + 2 + 1/x2 = 9; portanto, o valor é 7.
- E) Valor incompatível com a identidade algébrica.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). A hipotenusa vale 15, e o raio inscrito em triângulo retângulo é (a+b-c)/2 = (9+12-15)/2 = 3.
Comentários por alternativa:
- A) A hipotenusa vale 15, e o raio inscrito em triângulo retângulo é (a+b-c)/2 = (9+12-15)/2 = 3.
- B) Pequeno demais para os lados dados.
- C) Seria se a hipotenusa fosse menor.
- D) Confunde o semiperímetro com o raio.
- E) Dobra o valor correto.
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Questão 04
Gabarito: alternativa E). É uma permutação de 5 elementos tomados 4 a 4: 5·4·3·2 = 120.
Comentários por alternativa:
- A) Subconta as possibilidades.
- B) Esquece uma etapa de escolha.
- C) Permite repetição, o que é proibido.
- D) Inclui escolhas extras inexistentes.
- E) É uma permutação de 5 elementos tomados 4 a 4: 5·4·3·2 = 120.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Escreva os números como 12a e 12b, com a+b = 7. O menor par positivo distinto é 12 e 72? Mas a soma não fecha; logo 24 e 60, então o menor é 24.
Comentários por alternativa:
- A) Não pode ser o menor, pois exigiria o outro número 72 e mdc maior que 12.
- B) A soma com o outro número não atinge 84 mantendo mdc 12.
- C) Escreva os números como 12a e 12b, com a+b = 7. O menor par positivo distinto é 12 e 72? Mas a soma não fecha; logo 24 e 60, então o menor é 24.
- D) Excede o menor possível.
- E) Também é múltiplo de 12, mas não é o menor.
Questão 06
Gabarito: alternativa D). Para a parábola x2-6x+10, o vértice ocorre em x = -b/(2a) = 3.
Comentários por alternativa:
- A) Ponto simétrico, mas não o vértice.
- B) Não minimiza a expressão.
- C) Ainda está antes do eixo de simetria.
- D) Para a parábola x2-6x+10, o vértice ocorre em x = -b/(2a) = 3.
- E) É o ponto onde a derivada não zera.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). O hexágono regular divide-se em 6 triângulos equiláteros de lado 2; cada um tem área √3, total 6√3.
Comentários por alternativa:
- A) Corresponde à área de apenas dois triângulos menores.
- B) Subconta os triângulos internos.
- C) Ainda faltam triângulos para completar o hexágono.
- D) Exagera a área em relação à decomposição correta.
- E) O hexágono regular divide-se em 6 triângulos equiláteros de lado 2; cada um tem área √3, total 6√3.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Às 3h, o ponteiro das horas está a 90°. A diferença diminui a 5,5° por minuto: 90/5,5 = 27 3/11.
Comentários por alternativa:
- A) Às 3h, o ponteiro das horas está a 90°. A diferença diminui a 5,5° por minuto: 90/5,5 = 27 3/11.
- B) Tempo insuficiente para alcançar o ponteiro das horas.
- C) Só valeria se os ponteiros se movessem na mesma velocidade.
- D) Excede o instante de encontro.
- E) Ainda não atinge a posição do ponteiro das horas.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Divisível por 5, termina em 0 ou 5. Com soma 10 e divisível por 3, a única possibilidade gera dois números.
Comentários por alternativa:
- A) Há mais de uma possibilidade para os algarismos.
- B) Excede as combinações válidas.
- C) A contagem inclui casos impossíveis.
- D) Divisível por 5, termina em 0 ou 5. Com soma 10 e divisível por 3, a única possibilidade gera dois números.
- E) Não há tantas combinações com todas as restrições.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). n2+n = n(n+1). Entre números consecutivos, um é par e um é múltiplo de 3? Não necessariamente; mas para ser múltiplo de 6, basta um par e um múltiplo de 3, o que ocorre se n é par ou múltiplo de 3.
Comentários por alternativa:
- A) Nem todo n válido é par; por exemplo, n=3 funciona.
- B) Nem todo n válido é ímpar; n=2 funciona.
- C) n2+n = n(n+1). Entre números consecutivos, um é par e um é múltiplo de 3? Não necessariamente; mas para ser múltiplo de 6, basta um par e um múltiplo de 3, o que ocorre se n é par ou múltiplo de 3.
- D) n não precisa ser múltiplo de 3 em todos os casos.
- E) Há restrição aritmética clara; não é qualquer n.
Comentários por alternativa: