A análise combinatória estuda maneiras de contar possibilidades sem precisar enumerá-las uma a uma. Em problemas do Ensino Médio, ela aparece em senhas, sorteios, formações de equipes, arranjos de objetos e escolhas em etapas sucessivas.
Para resolver essas questões, é importante identificar se a ordem importa, se há repetição permitida e se a situação envolve combinações, arranjos ou permutações. Em contextos mais desafiadores, também é comum usar o princípio multiplicativo, o princípio aditivo e a ideia de casos complementares.
Questões sobre análise combinatória
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Escolhe-se 2 entre 6 e 1 entre 5: C(6,2)·C(5,1)=15·5=75?
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Há 5 opções para o primeiro dígito e 10 para cada um dos outros três: 5·103.
Comentários por alternativa:
- A) Considere que o primeiro dígito tem 5 escolhas e os demais têm 10 cada um.
- B) Fica abaixo do total, pois não inclui todas as possibilidades dos três últimos dígitos.
- C) Superestima a contagem ao tratar o primeiro dígito como se tivesse 6 escolhas.
- D) Há 5 opções para o primeiro dígito e 10 para cada um dos outros três: 5·103.
- E) Dobria a contagem correta sem justificativa para a restrição do primeiro dígito.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). A ordem importa: P(8,3)=8·7·6=336.
Comentários por alternativa:
- A) A ordem importa: P(8,3)=8·7·6=336.
- B) Falta considerar uma etapa de escolha ordenada entre três colocados distintos.
- C) Corresponde a uma combinação, mas aqui a ordem entre ouro, prata e bronze importa.
- D) Confunde o problema com potência, sem considerar restrições de escolha sem repetição.
- E) Inclui uma contagem maior que a necessária para três posições distintas.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Multiplica-se 5·4·3, pois a escolha em cada área é independente.
Comentários por alternativa:
- A) Indica apenas uma soma parcial e não combina as três escolhas.
- B) Usa dois grupos, mas não contempla a terceira área solicitada.
- C) Fica abaixo do produto total das três seleções independentes.
- D) Superestima o total ao repetir uma das contagens sem necessidade.
- E) Multiplica-se 5·4·3, pois a escolha em cada área é independente.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Trata-se o par como bloco: 8 unidades em fila, com 2 ordens internas. Resultado: 8!·2.
Comentários por alternativa:
- A) Triplica um valor que não corresponde à estrutura do bloco exigido.
- B) Dobra indevidamente o total ao superestimar a permutação dos blocos.
- C) Trata-se o par como bloco: 8 unidades em fila, com 2 ordens internas. Resultado: 8!·2.
- D) Aproxima-se de 9!, mas ignora a condição de vizinhança.
- E) Corresponde à permutação de 9 pessoas sem restrição, o que não se aplica.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Sem café: 7·3·4, e com ou sem café: multiplica por 2. Total 7·3·4·2=168?
Comentários por alternativa:
- A) Conta só uma parte das escolhas e ignora a opção de café.
- B) Sem café: 7·3·4, e com ou sem café: multiplica por 2. Total 7·3·4·2=168?
- C) É o total correto se a opção de café dobra as possibilidades.
- D) Assume uma etapa extra inexistente na composição do pedido.
- E) Superestima o total, como se houvesse mais um item independente.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). O último algarismo é 2, 4 ou 6. Depois escolhe-se sem repetição: 3·6·5·4.
Comentários por alternativa:
- A) Fica abaixo do total porque não considera todas as opções para o último algarismo.
- B) Ignora uma das etapas de escolha sem repetição.
- C) Dobra o valor correto sem justificativa para a restrição de dígitos distintos.
- D) Exagera na contagem ao tratar as posições como independentes com repetição.
- E) O último algarismo é 2, 4 ou 6. Depois escolhe-se sem repetição: 3·6·5·4.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Total de trincas menos as sem vermelha: C(12,3)-C(7,3)=220-35=185?
Comentários por alternativa:
- A) Total de trincas menos as sem vermelha: C(12,3)-C(7,3)=220-35=185?
- B) Aproxima-se de uma subcontagem, mas não resolve o caso solicitado.
- C) Superestima ou subestima ao misturar contagens com e sem vermelhas.
- D) Fica abaixo do total esperado e não bate com a contagem por complemento.
- E) Corresponde ao total de todas as trincas, sem excluir as que não têm vermelha.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Escolhe-se o bloco de 5 cadeiras e permutam-se os 5 estudantes: 10 posições iniciais para o bloco?
Comentários por alternativa:
- A) Considera apenas a ordem dos estudantes, sem a escolha do bloco de cadeiras.
- B) Duplica parte da contagem, mas ainda não representa todas as posições possíveis do bloco.
- C) Fica abaixo do total porque a posição do bloco no círculo também varia.
- D) Escolhe-se o bloco de 5 cadeiras e permutam-se os 5 estudantes: 10 posições iniciais para o bloco?
- E) Não contempla todas as formas de posicionar o bloco de cadeiras consecutivas.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Letras: 26·25. Algarismos: 10·9·8. Produto total: 26·25·10·9·8.
Comentários por alternativa:
- A) Arredonda um valor que não resulta da contagem exata das etapas.
- B) Superestima ao tratar alguma etapa como se tivesse mais opções.
- C) Letras: 26·25. Algarismos: 10·9·8. Produto total: 26·25·10·9·8.
- D) Inclui possibilidades que não respeitam a distinção entre caracteres.
- E) Exagera a quantidade ao ignorar a restrição de repetição em parte do código.
Comentários por alternativa: