Questões sobre Plano Cartesiano

Resolução Detalhada:
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) no plano cartesiano: d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²].
Substituindo os valores: (x₁, y₁) = (3, 2) e (x₂, y₂) = (7, 8):
d = √[(7 – 3)² + (8 – 2)²] = √[4² + 6²] = √[16 + 36] = √52 ≈ 7,21 unidades.

Resolução Detalhada:
A área de um triângulo formado por três pontos (x₁, y₁), (x₂, y₂), e (x₃, y₃) no plano cartesiano é dada pela fórmula:
A = (1/2) |x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)|.
Substituindo os valores A(1, -1), B(5, 3) e C(1, 5):
A = (1/2) |1(3 – 5) + 5(5 – (-1)) + 1((-1) – 3)|
A = (1/2) |1(-2) + 5(6) + 1(-4)| = (1/2)|-2 + 30 – 4| = (1/2)|24| = 12 unidades².

Resolução Detalhada:
A inclinação (m) da reta é dada por m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Para os pontos D(2, 3) e E(6, 7):
m = (7 – 3) / (6 – 2) = 4 / 4 = 1.
A equação da reta pode ser obtida usando a forma point-slope: y – y₁ = m(x – x₁). Usando o ponto D(2, 3):
y – 3 = 1(x – 2) <=> y = x + 1.

Resolução Detalhada:
A reta que passa por três pontos (1, 2), (2, 4) e (3, 6) é linear e a relação pode ser expressa como y = mx, onde m é a inclinação calculada pela razão entre as elevações: m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Aqui, todos os pontos seguem y = 2x, confirmando a linearidade da relação.

Resolução Detalhada:
A receita pode ser calculada substituindo x na função: R(x) = 100x + 250.
Para x = 10: R(10) = 100(10) + 250 = 1.000 + 250 = 1.250 unidades monetárias.

Resolução Detalhada:
Para encontrar o preço ao comprar 5 unidades, substituímos x na função P: P(x) = 20 – 2x.
Portanto, P(5) = 20 – 2(5) = 20 – 10 = 10 unidades monetárias.

Resolução Detalhada:
A coordenada do vértice de uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c pode ser encontrada pela fórmula x = -b/(2a).
No caso, com a = 1 e b = -4: x = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2. Agora, substituímos x na função para achar y:
f(2) = 2² – 4*2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1.
Portanto, o vértice está em (2, -1).

Resolução Detalhada:
Para calcular a coordenada média entre dois pontos F(x₁, y₁) e G(x₂, y₂), utilizamos a fórmula:
M = [ (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 ]
Assim, M = [ (-3 + 1)/2 , (4 + -2)/2 ] = (-1, 1).

Resolução Detalhada:
Para encontrar a reta perpendicular, é necessário determinar a inclinação da reta que passa pelos pontos H(2, 1) e J(4, 5). A inclinação (m) é dada por: m₁ = (5 – 1) / (4 – 2) = 4 / 2 = 2. A inclinação da reta perpendicular será m₂ = -1/m₁ = -1/2. Portanto, o coeficiente correto é m = -1/2.

Resolução Detalhada:
Para encontrar o valor máximo da função quadrática f(x) = -x² + 4x – 3, localizamos o vértice usando x = -b/(2a):
Aqui, a = -1, b = 4, temos x = -4/(2*-1) = 2. Ao substituirmos x na função, encontramos f(2) = -2² + 4(2) – 3 = -4 + 8 – 3 = 1, que é o valor máximo da função.

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