Questões de geometria analítica ENEM

Resolução Detalhada:
Para calcular a distância entre os pontos A(2,3) e B(5,7), utilizamos a fórmula da distância d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²). Portanto, substituindo os valores, temos:
d = √((5 – 2)² + (7 – 3)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Resolução Detalhada:
O coeficiente angular \( m = \frac{y₂ – y₁}{x₂ – x₁} = \frac{6 – 2}{4 – 1} = \frac{4}{3} \). Para determinar a interseção com y, substituímos em \( y = mx + b \). Assim, ao substituir os valores, encontramos b = 2/3, resultando na equação final: \( y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3} \).

Resolução Detalhada:
O vértice da parábola dada pela função quadratic é encontrado usando \( x = – \frac{b}{2a} = – \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \). Para achar o valor de f(2), temos \( f(2) = 2^2 – 4 \cdot 2 + 6 = 2 \), resultando no vértice em (2, 2).

Resolução Detalhada:
A circunferência tem como fórmula padrão (x – h)² + (y – k)² = r², onde (h, k) é o centro e r é o raio. Para o centro (0, 0) e raio obtido pela distância a (3, 4), temos r = √(3² + 4²) = 5. Assim, resultamos na equação: x² + y² = 25.

Resolução Detalhada:
Para encontrar a equação da reta, utilizamos a inclinação m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁). Temos os pontos (4, 0) e (0, 3). Assim, m = (0 – 3)/(4 – 0) = -3/4. A partir disso, usando o ponto (0, 3) na forma y = mx + b, conseguimos determinar b = 3, proporcionando a equação final: y = – (3/4)x + 3.

Resolução Detalhada:
O coeficiente angular da reta dada é 2. Por ser perpendicular, o novo coeficiente deve ser -1/2. Utilize o ponto E(2, -1) para encontrar b, portanto:
-1 = – (1/2) * 2 + b → b = 1. Assim, a equação da reta é y = – (1/2)x + 1.

Resolução Detalhada:
A equação de um círculo é dada por (x – h)² + (y – k)² = r², onde (h, k) é o centro e r é o raio. O ponto F(1, 1) fornece o centro, enquanto o raio é encontrado como r = √((4 – 1)² + (5 – 1)²) = √(9 + 16) = 5. Portanto, a equação final é: (x – 1)² + (y – 1)² = 25.

Resolução Detalhada:
A equidistância entre os pontos implica que a distância de H a Q deve ser preservada. H(3, 2) tem uma distância a Q(7, 6), como d = √((7 – 3)² + (6 – 2)²) = √(16) = 4. Portanto, qualquer ponto P deve estar a 4 unidades de Q e isso se realiza em P(6, 6).

Resolução Detalhada:
Para encontrar a interseção da reta com o eixo x, substituímos y=0 na equação: 4x + 12 = 0, então 4x = -12, resultando em x = -3. Assim, temos o ponto de interseção como (-3, 0).

Resolução Detalhada:
Aplicamos a fórmula da área, A = (1/2) | x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂) |. Substituindo, temos:
A = (1/2) | 1(6 – 2) + 4(2 – 2) + 7(2 – 6) | = (1/2) | 1(4) + 0 + 7(-4) | = (1/2) | 4 – 28 | = (1/2) | -24 | = 12.

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