Questões de equação do 2º grau

As equações do 2º grau são fundamentais em diversos contextos da matemática, permitindo resolver problemas práticos e teóricos. O discriminante, por exemplo, indica a natureza das raízes. Conhecer as propriedades dessas equações é essencial para o sucesso em testes como vestibulares e ENEM. A prática com questões variadas pode aprimorar a habilidade de interpretação e resolução.

[quiz] 01) Uma bola é lançada verticalmente para cima e sua trajetória é modelada pela equação h(t) = -5t² + 20t + 1, onde h(t) é a altura em metros após t segundos. Determine o tempo em que a bola atinge a altura máxima. Assinale a alternativa que apresentar o valor correto.

a) 2 segundos. b) 2 segundos. c) 3 segundos. d) 1 segundo. e) 5 segundos. [/quiz] Resolução Detalhada: Para encontrar o tempo de altura máxima, utilizamos a fórmula t = -b/(2a), onde a = -5 e b = 20, logo t = -20/(2*-5) = 2 segundos.

[quiz] 02) Uma poda em uma árvore é descrita pela equação de sua altura em função do tempo: h(t) = -3t² + 12t + 5. Qual a altura máxima que a árvore pode alcançar após quanto tempo? Assinale a alternativa que apresenta os valores corretos.

a) 17 metros após 2 segundos. b) 10 metros após 4 segundos. c) 13 metros após 1 segundo. d) 21 metros após 5 segundos. e) 8 metros após 3 segundos. [/quiz] Resolução Detalhada: Para encontrar a altura máxima, utilizamos o vértice da parábola: t = -12/(2*-3) = 2. A altura é h(2) = -3(2)² + 12(2) + 5 = 17 metros.

[quiz] 03) Um investidor deposita em uma conta um montante que varia segundo a fórmula M(t) = -4t² + 40t + 100, onde M(t) é o montante em reais após t meses. Qual é o valor máximo que o investimento alcança e em quanto tempo? Assinale a alternativa correta.

a) R$ 150,00 em 5 meses. b) R$ 160,00 em 5 meses. c) R$ 180,00 em 3 meses. d) R$ 236,00 em 2 meses. e) R$ 100,00 em 1 mês. [/quiz] Resolução Detalhada: Usando t = -b/(2a): t = -40/(2*-4) = 5 meses. O montante em M(5) = -4(5)² + 40(5) + 100 = 160.

[quiz] 04) Um projetista precisa entender a forma como a luz atinge seu projeto e monta a equação I(x) = -2x² + 16x + 24, onde I(x) representa a intensidade da luz em determinado ponto. Qual é a intensidade máxima e em que posição isso ocorre? Assinale a alternativa correta.

a) 56 em x = 4. b) 55 em x = 3. c) 45 em x = 6. d) 50 em x = 2. e) 40 em x = 5. [/quiz] Resolução Detalhada: Para calcular a intensidade máxima, aplicamos t = -b/(2a): t = -16/(2*-2) = 4. A intensidade I(4) = -2(4)² + 16(4) + 24 = 56.

[quiz] 05) O tempo de viagem de um carro é representado pela função T(s) = -3s² + 30s + 15, onde T é o tempo em horas e s é a velocidade em km/h. Qual é a velocidade ideal para minimizar o tempo de viagem? Assinale a alternativa correta.

a) 5 km/h. b) 15 km/h. c) 20 km/h. d) 30 km/h. e) 50 km/h. [/quiz] Resolução Detalhada: Usamos a fórmula do vértice t = -b/(2a): t = -30/(2*-3) = 5 km/h. Este valor minimiza a função T(s).

[quiz] 06) Um artista modela suas esculturas com base na equação C(x) = -x² + 6x + 14, onde C representa o custo em reais e x a quantidade de materiais. Determine o custo máximo e a quantidade necessária para alcançá-lo. Assinale a alternativa correta.

a) R$ 32,00 com 3 materiais. b) R$ 18,00 com 1 material. c) R$ 30,00 com 5 materiais. d) R$ 25,00 com 2 materiais. e) R$ 50,00 com 8 materiais. [/quiz] Resolução Detalhada: Usamos a fórmula do vértice: x = -b/(2a), onde a = -1 e b = 6, então x = -6/(2*-1) = 3. O custo é C(3) = -3² + 6(3) + 14 = 32.

[quiz] 07) Uma pessoa está realizando um experimento onde a massa de uma substância é dada pela função M(t) = -2t² + 12t + 10, sendo M(t) a massa em gramas após t minutos. Quais são a massa máxima e o tempo correspondente para o experimento? Assinale a alternativa correta.

a) 34 gramas em 3 minutos. b) 30 gramas em 1 minuto. c) 27 gramas em 5 minutos. d) 20 gramas em 4 minutos. e) 18 gramas em 2 minutos. [/quiz] Resolução Detalhada: Utilizando t = -b/(2a): t = -12/(2*-2) = 3 minutos. Então, M(3) = -2(3)² + 12(3) + 10 = 34 gramas.

[quiz] 08) Um agricultor desenvolveu um modelo para o rendimento de sua plantação utilizando a fórmula R(x) = -x² + 10x + 50, onde R representa o rendimento em sacas e x a quantidade de água em litros. Qual a quantidade de água ideal e o rendimento correspondente? Assinale a alternativa que apresenta os dados corretos.

a) 60 sacas com 5 litros. b) 45 sacas com 4 litros. c) 30 sacas com 10 litros. d) 55 sacas com 6 litros. e) 20 sacas com 1 litro. [/quiz] Resolução Detalhada: O rendimento máximo é obtido em x = -b/(2a), resultando em x = 5. Subsequentemente, R(5) = -(5)² + 10(5) + 50 = 60 sacas.

[quiz] 09) Um fabricante de refrigerantes observa que o volume de um lote é modelado pela função V(p) = -3p² + 30p + 200, onde V é o volume em litros e p é o número de unidades produzidas. Qual é o volume máximo que o lote pode alcançar? Assinale a alternativa que apresenta o volume e a quantidade correspondente.

a) 250 litros ao produzir 5 unidades. b) 280 litros ao produzir 6 unidades. c) 240 litros ao produzir 4 unidades. d) 150 litros ao produzir 3 unidades. e) 200 litros ao produzir 1 unidade. [/quiz] Resolução Detalhada: Usamos t = -b/(2a): t = -30/(2*-3) = 5 unidades. O volume máximo é V(5) = -3(5)² + 30(5) + 200 = 250 litros.

[quiz] 10) Um pedagogo avalia o impacto de um novo programa escolar com a função S(n) = -2n² + 22n + 30, onde S representa a satisfação dos alunos e n a quantidade de atividades implementadas. Qual é o valor máximo de satisfação e em que quantidade de atividades isso ocorre? Assinale a alternativa correta.

a) 106 em 11 atividades. b) 80 em 6 atividades. c) 100 em 10 atividades. d) 30 em 4 atividades. e) 40 em 5 atividades. [/quiz] Resolução Detalhada: Usamos a equação do vértice: n = -22/(2*-2) = 11. A satisfação S(11) = -2(11)² + 22(11) + 30 = 106.