A lei dos cossenos é uma ferramenta central para resolver triângulos quando não é possível aplicar diretamente o teorema de Pitágoras. Ela relaciona os três lados de um triângulo qualquer com o cosseno de um de seus ângulos, permitindo calcular lados desconhecidos ou encontrar ângulos a partir das medidas dos lados. Em problemas do Ensino Médio, ela aparece com frequência em contextos de navegação, topografia, arquitetura e trajetórias.
Nesta sequência, as questões foram elaboradas com nível difícil e exigem atenção à interpretação, ao uso correto da fórmula e às propriedades geométricas envolvidas. Em geral, se um lado oposto a um ângulo A é a, e os outros lados são b e c, então vale a2 = b2 + c2 – 2bc cos A. Também é importante lembrar que, se o cosseno do ângulo for negativo, o ângulo é obtuso; se for zero, reto; e, se for positivo, agudo.
Questões: Lei dos cossenos
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. d2 = 82 + 132 – 2·8·13·cos 60° = 64 + 169 – 104 = 129? Atenção: 2·8·13·1/2 = 104, então d2 = 129.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. a2 = 122 + 152 – 2·12·15·cos 120° = 144 + 225 + 180 = 549.
Comentários por alternativa:
- A) 9 m é pequeno demais para um ângulo obtuso de 120° entre os lados dados.
- B) √189 resulta de usar incorretamente cos 120° como +1/2.
- C) 212 = 441, menor que 549. Não corresponde ao cálculo.
- D) Correto. a2 = 122 + 152 – 2·12·15·cos 120° = 144 + 225 + 180 = 549.
- E) Correto numericamente como √549; é a forma não simplificada adequada.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. AB2 = 102 + 142 – 2·10·14·cos 30° = 296 – 140√3.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. AB2 = 102 + 142 – 2·10·14·cos 30° = 296 – 140√3.
- B) √76 é incompatível com lados 10 e 14 formando ângulo de 30°.
- C) 2√29 dá √116, muito menor que o valor obtido pela fórmula.
- D) 12 m é aproximação inadequada; o valor exato pedido é radical.
- E) Esse resultado soma o termo do cosseno, contrariando a fórmula.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. cos θ = (72 + 92 – 132)/(2·7·9) = (130 – 169)/126 < 0, então θ é obtuso.
Comentários por alternativa:
- A) O cosseno é negativo, não positivo, para o ângulo oposto a 13.
- B) 132 = 169 e 72 + 92 = 130. Não é triângulo retângulo.
- C) Ser possível formar triângulo não implica que o maior ângulo seja agudo.
- D) As medidas dos três lados bastam para determinar a natureza do ângulo.
- E) Correto. cos θ = (72 + 92 – 132)/(2·7·9) = (130 – 169)/126 < 0, então θ é obtuso.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. d2 = 62 + 102 – 2·6·10·cos 45° = 136 – 60√2.
Comentários por alternativa:
- A) 4√2 gera 32 ao quadrado? Não coincide com a expressão correta.
- B) 82 = 64, valor incompatível com os dados do problema.
- C) Correto. d2 = 62 + 102 – 2·6·10·cos 45° = 136 – 60√2.
- D) A soma do termo com cosseno contraria a lei dos cossenos.
- E) 2√34 corresponde a √136, ignorando o ângulo de 45°.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. cos A = (b2 + c2 – a2)/(2bc) = (49 + 64 – 121)/(112) = -8/112 = -1/14?
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor não resulta da substituição correta na fórmula.
- B) Correto. cos A = (b2 + c2 – a2)/(2bc) = (49 + 64 – 121)/(112) = -8/112 = -1/14?
- C) O sinal fica negativo, pois a2 é maior que b2 + c2.
- D) Valor e sinal não correspondem à fração simplificada correta.
- E) 3/8 não surge da conta com os lados dados.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. x2 = 52 + 92 – 2·5·9·cos 150° = 106 + 45√3.
Comentários por alternativa:
- A) √61 ignora o efeito do ângulo de 150° na fórmula.
- B) Esse resultado usaria cos 150° com sinal incorreto.
- C) 142 = 196, acima do valor obtido. Não corresponde.
- D) 4 cm é incompatível com lados 5 e 9 e ângulo muito aberto.
- E) Correto. x2 = 52 + 92 – 2·5·9·cos 150° = 106 + 45√3.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. b2 = 92 + 122 – 2·9·12·cos 60° = 81 + 144 – 108 = 117.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. b2 = 92 + 122 – 2·9·12·cos 60° = 81 + 144 – 108 = 117.
- B) 3 cm é pequeno demais para lados 9 e 12 com ângulo intermediário de 60°.
- C) √189 surgiria se o termo com cosseno fosse somado.
- D) √63 vem de cálculo incompleto ou erro no produto 2·9·12.
- E) 15 cm ocorreria se o ângulo fosse 90°, não 60°.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. PR2 = 202 + 152 – 2·20·15·cos 120° = 400 + 225 + 300 = 925 = 25·37.
Comentários por alternativa:
- A) √325 fica abaixo do esperado para essa configuração obtusa.
- B) √475 subestima a distância para um ângulo obtuso de 120°.
- C) 25 m não corresponde ao valor obtido pela lei dos cossenos.
- D) Correto. PR2 = 202 + 152 – 2·20·15·cos 120° = 400 + 225 + 300 = 925 = 25·37.
- E) 35 m seria possível apenas em alinhamento quase oposto, não aqui.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. cos θ = (132 + 142 – 152)/(2·13·14) = (169 + 196 – 225)/364 = 140/364 = 5/13?
Comentários por alternativa:
- A) 3/5 superestima o valor do cosseno para esse triângulo.
- B) 2/5 não é a razão resultante da expressão correta.
- C) Correto. cos θ = (132 + 142 – 152)/(2·13·14) = (169 + 196 – 225)/364 = 140/364 = 5/13?
- D) 4/5 é alto demais; o ângulo oposto a 15 não é tão pequeno.
- E) O cosseno é positivo, pois o ângulo oposto a 15 é agudo.
Comentários por alternativa: