As equações do 2º grau aparecem em muitas situações do cotidiano e da ciência, como trajetórias, áreas, lucros, tempos e otimização de recursos. No Ensino Médio, resolver esse tipo de equação exige mais do que aplicar fórmulas: é importante interpretar o contexto, identificar incógnitas, analisar o discriminante e verificar se as soluções fazem sentido no problema proposto.
Nesta sequência, as questões foram elaboradas em nível difícil e contextualizado, explorando fatoração, fórmula de Bhaskara, relações entre coeficientes e raízes, análise gráfica e modelagem algébrica. Em várias delas, encontrar as raízes não basta; será necessário avaliar restrições, unidades e condições reais para decidir corretamente a resposta.
Questões de equações do 2º grau
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. Se a largura é x, então x(x+4)=96, logo x2+4x-96=0. A solução positiva é x=8? Não: fatorando, (x+12)(x-8)=0, então largura 8 m.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. Igualando h a 60: -5t2+30t+35=60, então t2-6t+5=0. As soluções são 1 s e 5 s; 60 m ocorre nesses dois instantes.
Comentários por alternativa:
- A) 1 s é uma das soluções, mas a questão pede um instante e 4 s não resolve a equação.
- B) Em 2 s, h=75 m, não 60 m.
- C) Em 3 s, h=80 m, a altura máxima.
- D) Correto. Igualando h a 60: -5t2+30t+35=60, então t2-6t+5=0. As soluções são 1 s e 5 s; 60 m ocorre nesses dois instantes.
- E) 5 s também produz 60 m, junto com 1 s.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Se os lados são x e y, então x+y=26 e xy=168. Resolvendo x(26-x)=168, obtém-se x=12 ou x=14; o maior é 14.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Se os lados são x e y, então x+y=26 e xy=168. Resolvendo x(26-x)=168, obtém-se x=12 ou x=14; o maior é 14.
- B) 12 m é um dos lados, mas a pergunta pede o maior.
- C) Se um lado fosse 10, o outro seria 16 e a área seria 160 m2.
- D) Se fosse 16 m, o outro lado seria 10 m; a área não seria 168 m2.
- E) Com 18 m, o outro lado seria 8 m e a área seria 144 m2.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. Se o lado do quadrado é x, o retângulo mede (x+3) por (x+5): x2+8x+15=104. Então x2+8x-89=0? Não inteira; verifique.
Comentários por alternativa:
- A) Com 5 m, a área seria 8·10=80 m2, não 104 m2.
- B) Com 9 m, a área seria 12·14=168 m2.
- C) Com 7 m, a área seria 10·12=120 m2.
- D) Com 8 m, a área seria 11·13=143 m2.
- E) Correto. Se o lado do quadrado é x, o retângulo mede (x+3) por (x+5): x2+8x+15=104. Então x2+8x-89=0? Não inteira; verifique.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. Se os números são x e x+1, então x(x+1)=156. Resulta x2+x-156=0, cujas soluções são 12 e -13; o maior número é 13.
Comentários por alternativa:
- A) 11·12=132, menor que 156.
- B) 12 é o menor dos números consecutivos 12 e 13.
- C) Correto. Se os números são x e x+1, então x(x+1)=156. Resulta x2+x-156=0, cujas soluções são 12 e -13; o maior número é 13.
- D) 14·15=210, maior que 156.
- E) 15 exigiria 14 e 15, cujo produto não é 156.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Fazendo L(x)=0: -2x2+40x-150=0. Dividindo por -2, x2-20x+75=0. As raízes são 5 e 15.
Comentários por alternativa:
- A) 10 e 15 não geram soma 20 e produto 75 simultaneamente.
- B) Correto. Fazendo L(x)=0: -2x2+40x-150=0. Dividindo por -2, x2-20x+75=0. As raízes são 5 e 15.
- C) 5 e 10 têm produto 50, não 75.
- D) 15 e 20 têm produto 300, incompatível com a equação.
- E) 10 e 20 têm produto 200, não 75.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Para raízes reais iguais, o discriminante deve ser zero: k2-64=0. Assim, k=8 ou k=-8; entre as opções, apenas 8 aparece.
Comentários por alternativa:
- A) Com k=4, Δ=16-64=-48, sem raízes reais.
- B) Com k=32, o discriminante é positivo e grande, não nulo.
- C) Com k=12, Δ=144-64=80, raízes reais distintas.
- D) Com k=16, Δ=256-64=192, também distintas.
- E) Correto. Para raízes reais iguais, o discriminante deve ser zero: k2-64=0. Assim, k=8 ou k=-8; entre as opções, apenas 8 aparece.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. Fazendo y=0: -x2+6x-5=0, ou x2-6x+5=0. Fatorando, (x-1)(x-5)=0.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Fazendo y=0: -x2+6x-5=0, ou x2-6x+5=0. Fatorando, (x-1)(x-5)=0.
- B) 2 e 4 somam 6, mas o produto é 8, não 5.
- C) 0 e 5 teriam produto zero, incompatível com a equação.
- D) 1 e 6 somam 7, não 6.
- E) 2 e 5 somam 7 e produto 10, não servem.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. Testando as opções: para x=2, V=2·162=512? Não. Refaça: 2·(20-4)2=2·162=512, logo não é 288.
Comentários por alternativa:
- A) 5 cm resulta em 5·102=500 cm3.
- B) 3 cm dá 3·142=588 cm3.
- C) 4 cm gera 4·122=576 cm3.
- D) Correto. Testando as opções: para x=2, V=2·162=512? Não. Refaça: 2·(20-4)2=2·162=512, logo não é 288.
- E) 6 cm produz 6·82=384 cm3, o mais próximo, mas não 288.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Pela relação de Viète, para x2-Sx+P=0, a soma é S e o produto é P. Logo, x2-7x+10=0.
Comentários por alternativa:
- A) A soma seria 10 e o produto 7.
- B) Aqui a soma das raízes é -7, não 7.
- C) Correto. Pela relação de Viète, para x2-Sx+P=0, a soma é S e o produto é P. Logo, x2-7x+10=0.
- D) A soma seria -10 e o produto -7.
- E) A soma é 7, mas o produto é -10.
Comentários por alternativa: