Polinômios aparecem em muitos modelos do Ensino Médio, desde a trajetória aproximada de um objeto até o lucro de uma empresa em função da quantidade produzida. Resolver questões difíceis sobre esse tema exige articular operações algébricas, fatoração, teorema do resto, raízes, multiplicidade e análise de coeficientes com bastante atenção aos detalhes do enunciado.
Nesta sequência, as questões foram contextualizadas em situações de planejamento, tecnologia, medições e padrões numéricos, mas o foco central continua sendo o raciocínio algébrico. Em várias delas, não basta efetuar contas: é necessário interpretar condições, testar propriedades dos polinômios e escolher a estratégia mais eficiente para chegar à resposta correta.
Questões: Polinomios 2
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. L(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x-1)(x-2)(x-3).
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. h(2) = 2·8 – 5·4 – 4·2 + 3 = 16 – 20 – 8 + 3 = -9? Atenção: isso indica revisão. Vamos recalcular: 16 – 20 – 8 + 3 = -9.
Comentários por alternativa:
- A) Valor incompatível com a avaliação direta do polinômio em t = 2.
- B) Não corresponde à soma correta dos termos após substituir t = 2.
- C) Esse valor surge de erro de sinal ao somar os termos negativos.
- D) Correto. h(2) = 2·8 – 5·4 – 4·2 + 3 = 16 – 20 – 8 + 3 = -9? Atenção: isso indica revisão. Vamos recalcular: 16 – 20 – 8 + 3 = -9.
- E) Provável erro ao considerar todos os termos como positivos.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Pela divisão sintética por 2, o quociente é x3 – 3x2 + 4.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Pela divisão sintética por 2, o quociente é x3 – 3x2 + 4.
- B) Falta o termo em x no quociente correto. Revise a sequência da divisão.
- C) O sinal do termo 4x está incorreto na divisão por x – 2.
- D) Os coeficientes não correspondem aos resultados da divisão sintética.
- E) Esse polinômio não recompõe P(x) ao multiplicar por x – 2.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. Pelo teorema do resto, Q(-2)=0: -8 + 4a + 8 + 12 = 0, então 4a + 12 = 0.
Comentários por alternativa:
- A) Substituindo em Q(-2), esse valor não zera o polinômio.
- B) Valor incompatível com a condição de raiz em x = -2.
- C) Esse valor torna Q(-2) positivo, não nulo.
- D) O resto da divisão por x + 2 não seria zero com esse valor.
- E) Correto. Pelo teorema do resto, Q(-2)=0: -8 + 4a + 8 + 12 = 0, então 4a + 12 = 0.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. Procuramos dois números com produto 36 e soma 13: 9 e 4.
Comentários por alternativa:
- A) A expansão gera x4 – 15x2 + 36, não x4 – 13x2 + 36.
- B) A expansão gera x4 – 12x2 + 36, com termo do meio incorreto.
- C) Correto. Procuramos dois números com produto 36 e soma 13: 9 e 4.
- D) Essa forma é de 2º grau, mas o polinômio dado é de 4º grau.
- E) A expansão produz termo do meio -4x2 + 9x2 = 5x2, inadequado.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Por agrupamento: x2(x-3) – 9(x-3) = (x-3)(x2-9).
Comentários por alternativa:
- A) O sinal do fator comum está incorreto; não recompõe os termos centrais.
- B) Correto. Por agrupamento: x2(x-3) – 9(x-3) = (x-3)(x2-9).
- C) A expansão de (x – 3)3 gera coeficientes diferentes dos dados.
- D) Expandindo, obtém-se x3 + 3x2 – 9x – 27, diferente do polinômio.
- E) Todos os sinais ficam incompatíveis com o polinômio original.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. R(x) = (x-1)2(x-2), logo 1 é raiz dupla e 2 é simples.
Comentários por alternativa:
- A) Se fosse (x-2)3, os coeficientes seriam diferentes dos apresentados.
- B) -1 não é raiz do polinômio; a fatoração correta não contém x + 1.
- C) 2 não é raiz dupla. A multiplicidade 2 ocorre em x = 1.
- D) -2 não anula o polinômio; houve erro ao testar raízes inteiras.
- E) Correto. R(x) = (x-1)2(x-2), logo 1 é raiz dupla e 2 é simples.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. Como S(3)=0: 2·27 + 9k – 54 = 0, então 9k = -54.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Como S(3)=0: 2·27 + 9k – 54 = 0, então 9k = -54.
- B) Esse valor não zera S(3); falta satisfazer a divisibilidade por x – 3.
- C) S(3) ficaria diferente de zero, logo x – 3 não seria fator.
- D) Valor incompatível com a condição S(3)=0.
- E) Também não anula S(3); verifique a substituição corretamente.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. T(-1)= -1 -1 -1 -1 -1 -1? Recalculando com sinais alternados: (-1)5 – (-1)4 + (-1)3 – (-1)2 + (-1) -1 = -6.
Comentários por alternativa:
- A) T(1)=1-1+1-1+1-1=0, então x – 1 é fator.
- B) T(2) é diferente de zero, então x – 2 não divide T(x).
- C) Não há evidência direta de divisibilidade por esse fator sem análise adicional.
- D) Correto. T(-1)= -1 -1 -1 -1 -1 -1? Recalculando com sinais alternados: (-1)5 – (-1)4 + (-1)3 – (-1)2 + (-1) -1 = -6.
- E) Pode aparecer em outros casos, mas aqui o fator linear garantido é x – 1.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Expandindo: (x2 + 2x – 3)(x2 – 4) = x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12.
Comentários por alternativa:
- A) A expansão gera coeficientes diferentes, especialmente no termo cúbico e no termo constante.
- B) O produto não reproduz os coeficientes -7, -8 e 12 simultaneamente.
- C) Correto. Expandindo: (x2 + 2x – 3)(x2 – 4) = x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12.
- D) Ao expandir, os termos médios não coincidem com o polinômio dado.
- E) Os coeficientes obtidos na expansão não correspondem ao polinômio original.
Comentários por alternativa: