A projeção ortogonal é uma ferramenta geométrica usada para representar, sobre uma reta ou um plano, a “sombra” de um ponto, segmento ou figura quando observada perpendicularmente. No Ensino Médio, esse tema aparece em situações que envolvem vetores, distância entre ponto e reta, decomposição de forças, componentes de deslocamento e interpretação de desenhos técnicos. Compreender projeções ajuda a relacionar medidas reais com direções específicas, o que é essencial em problemas de Física, Matemática e aplicações espaciais.
Em questões mais desafiadoras, a projeção ortogonal exige atenção às relações angulares, ao uso de cosseno, à distinção entre medida algébrica e comprimento, e à interpretação correta do sinal em contextos orientados. Também é importante perceber quando a projeção é nula, máxima ou negativa, dependendo da posição relativa entre os elementos envolvidos. A seguir, você resolverá situações contextualizadas que exploram essas ideias de forma rigorosa e aplicada.
Questões: Projeção ortogonal
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. A projeção é 20·cos 60° = 20·1/2 = 10 m.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. A projeção no solo é 15·0,6 = 9 m.
Comentários por alternativa:
- A) 15,6 m é maior que o próprio cabo, o que inviabiliza ser uma projeção.
- B) 12 m não resulta de 15·0,6; houve erro aritmético ou uso inadequado da razão trigonométrica.
- C) 7,5 m corresponderia a cos 60°, não ao valor informado de cos 53°.
- D) Correto. A projeção no solo é 15·0,6 = 9 m.
- E) 6 m viria de 15·0,4, confundindo cosseno com seno nesse contexto.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Projetar no eixo x preserva apenas a componente horizontal.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Projetar no eixo x preserva apenas a componente horizontal.
- B) (6, 8) é o vetor original, sem projeção.
- C) (0, 8) é a projeção sobre o eixo y, não sobre o eixo x.
- D) (8, 0) troca indevidamente as componentes do vetor.
- E) (10, 0) usa o módulo 10 como componente horizontal, o que está incorreto.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. 50·cos 120° = 50·(-1/2) = -25 N.
Comentários por alternativa:
- A) 25 N ignora o sinal negativo do cosseno de 120°.
- B) 25√3 N associa-se a seno de 120° ou componente perpendicular, não à projeção horizontal.
- C) 50 N só seria possível se a força estivesse paralela ao sentido positivo da barra.
- D) -50 N exigiria cos 180°, não cos 120°.
- E) Correto. 50·cos 120° = 50·(-1/2) = -25 N.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. A projeção no plano é 18·cos 30° = 18·√3/2 = 9√3 cm.
Comentários por alternativa:
- A) 9 cm resulta de usar cos 60° ou metade da aresta, sem justificativa correta.
- B) 18 cm ocorreria apenas se a aresta fosse paralela ao plano.
- C) Correto. A projeção no plano é 18·cos 30° = 18·√3/2 = 9√3 cm.
- D) 6√3 cm corresponde a 18·√3/3, que não é a projeção pedida.
- E) 18√3 cm é maior que a aresta original, impossibilitando ser projeção.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. 14·cos 45° = 14·√2/2 ≈ 14·0,7 = 9,8 cm.
Comentários por alternativa:
- A) 7 cm corresponderia a cos 60°, não a 45°.
- B) Correto. 14·cos 45° = 14·√2/2 ≈ 14·0,7 = 9,8 cm.
- C) 10 cm é aproximação excessiva; com √2 ≈ 1,4, resulta 9,8 cm.
- D) 14 cm só se AB fosse paralelo à reta r.
- E) 4,9 cm seria metade do valor correto, sem base geométrica.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Projeção nula ocorre quando cos θ = 0, isto é, θ = 90°.
Comentários por alternativa:
- A) Se fosse paralelo, a projeção teria módulo máximo, igual a 12 ou -12 algébrico.
- B) Em 45°, a projeção seria diferente de zero, igual a 12·cos 45°.
- C) Ângulo agudo produz cosseno positivo, logo projeção não nula.
- D) O enunciado informa módulo 12, portanto o vetor não é nulo.
- E) Correto. Projeção nula ocorre quando cos θ = 0, isto é, θ = 90°.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. Como b já é unitário na direção do eixo x, a projeção escalar é 3.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Como b já é unitário na direção do eixo x, a projeção escalar é 3.
- B) 4 é a componente em y, relacionada ao eixo perpendicular.
- C) 5 é o módulo de a, não sua projeção sobre b.
- D) 3/5 seria razão entre componente x e módulo, não a projeção escalar.
- E) 4/5 também é razão; não representa a projeção sobre a direção dada.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. A projeção horizontal é 8·0,34 = 2,72 m.
Comentários por alternativa:
- A) 5,44 m vem de 8·0,68, sem relação com o cosseno informado.
- B) 7,52 m resulta de usar seno, que fornece a componente vertical.
- C) 4 m corresponderia a cos 60°, não ao valor dado para 70°.
- D) Correto. A projeção horizontal é 8·0,34 = 2,72 m.
- E) 0,34 m confunde o valor do cosseno com a medida projetada.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. A projeção no eixo y é 10·cos 45° = 10·√2/2 = 5√2 cm.
Comentários por alternativa:
- A) 5 cm usa cos 60°, ângulo relativo aos eixos x ou z, não ao eixo y.
- B) 5√3 cm excede 10·1 e não corresponde a cos 45°.
- C) Correto. A projeção no eixo y é 10·cos 45° = 10·√2/2 = 5√2 cm.
- D) 10√2 cm é maior que o segmento original, então não pode ser projeção.
- E) 5√2/2 é metade do valor correto, por divisão indevida.
Comentários por alternativa: