A progressão geométrica (PG) descreve sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante. Esse modelo aparece em situações como juros compostos, crescimento populacional, propagação de informações, depreciação de equipamentos e escalas de produção. Em questões de nível mais avançado, é importante relacionar termo geral, soma dos termos e propriedades algébricas da sequência, evitando resolver apenas por tentativa.
Neste conjunto, as questões exploram contextos reais e exigem leitura cuidadosa, interpretação matemática e domínio das fórmulas da PG finita e infinita, além de análise de sinais e expoentes. Em várias situações, mais do que identificar a razão, será necessário montar expressões, comparar cenários e reconhecer quando a modelagem por PG é adequada para chegar à única alternativa correta.
Progressão geométrica: Questões
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. a5 = 320·1,54 = 320·5,0625 = 1.620.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. Os valores são 48, 24, 12 e 6; a soma é 90 mg.
Comentários por alternativa:
- A) 72 mg resulta de somar apenas 48, 24 e 0, ou cálculo incompleto.
- B) 84 mg surgiria se um dos termos fosse omitido ou reduzido incorretamente.
- C) 96 mg é a quantidade inicial, não a soma após quatro horas.
- D) Correto. Os valores são 48, 24, 12 e 6; a soma é 90 mg.
- E) 48 mg corresponde apenas à quantidade ao final da 1ª hora.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. 2.000·1,24 = 4.147,20 no 5º ano; para ultrapassar, precisa do 6º? Não: contando desde o 1º, verificar termos. a1=2000, a2=2400, a3=2880, a4=3456, a5=4147,20. Ultrapassa só no a6=4976,64. Alternativa correta é C.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. 2.000·1,24 = 4.147,20 no 5º ano; para ultrapassar, precisa do 6º? Não: contando desde o 1º, verificar termos. a1=2000, a2=2400, a3=2880, a4=3456, a5=4147,20. Ultrapassa só no a6=4976,64. Alternativa correta é C.
- B) No 4º ano, o bônus é 3.456, ainda abaixo de 4.147,20.
- C) Correto. No 6º ano, o bônus é 4.976,64, primeiro valor acima do limite.
- D) No 7º ano também ultrapassa, mas não é a primeira vez.
- E) No 8º ano o valor já ultrapassou antes, no 6º ano.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. S6 = 5·(36 – 1)/(3 – 1) = 5·728/2 = 1.820? Isso dá 1.820. Alternativa correta é A.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. S6 = 5·(36 – 1)/2 = 5·364 = 1.820.
- B) 1.100 não coincide com 5+15+45+135+405+1215.
- C) 1.090 subestima a forte expansão provocada pela razão 3.
- D) 1.200 sugere soma aproximada sem aplicar a fórmula corretamente.
- E) Correto. S6 = 5·(36 – 1)/(3 – 1) = 5·728/2 = 1.820? Isso dá 1.820. Alternativa correta é A.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. De a2 para a5 são três razões: q3 = 48/6 = 8, então q = 2. Logo a1 = 6/2 = 3.
Comentários por alternativa:
- A) 2 mm exigiria q = 3, mas isso não leva de 6 a 48 em três passos.
- B) 4 mm faria a2 = 8 mm, contrariando o dado do problema.
- C) Correto. De a2 para a5 são três razões: q3 = 48/6 = 8, então q = 2. Logo a1 = 6/2 = 3.
- D) 1,5 mm levaria a razão diferente de 2 e não ajustaria o 5º dia.
- E) 2,5 mm não produz uma PG compatível com a2 = 6 e a5 = 48.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Os valores são 40.000, 32.000 e 25.600; a soma é 97.600.
Comentários por alternativa:
- A) 88.800 ignora parte da depreciação composta ou erra um termo.
- B) Correto. Os valores são 40.000, 32.000 e 25.600; a soma é 97.600.
- C) 102.400 é maior que a soma correta e sugere manutenção indevida do valor inicial.
- D) 96.000 pode vir de somar 40.000, 32.000 e 24.000, com terceiro termo errado.
- E) 90.400 subestima a soma da PG gerada por 50.000 e razão 0,8.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Se a2 e a3 são positivos, então x+y=54 e xy=648 dão 18 e 36. A razão é 2, logo a1=9? Não: a2=18, a3=36, então a1=9. Alternativa correta é B.
Comentários por alternativa:
- A) 27 faria a2 maior que 27 em PG crescente, incompatível com os dados.
- B) Correto. a2=18, a3=36, razão 2, então a1=9.
- C) 12 levaria a2=24 e a3=48, com soma 72, não 54.
- D) 18 seria o 2º termo possível, não o 1º termo da PG.
- E) Correto. Se a2 e a3 são positivos, então x+y=54 e xy=648 dão 18 e 36. A razão é 2, logo a1=9? Não: a2=18, a3=36, então a1=9. Alternativa correta é B.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. É uma PG infinita com a1 = 81 e q = 1/3, então S = 81/(1 – 1/3) = 121,5.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. É uma PG infinita com a1 = 81 e q = 1/3, então S = 81/(1 – 1/3) = 121,5.
- B) 120 aproxima, mas não corresponde ao valor exato da soma infinita.
- C) 108 seria menor que a soma correta; a série ainda adiciona vários termos.
- D) 135 superestima a soma de uma PG decrescente de razão 1/3.
- E) 243 confunde soma infinita com outra operação envolvendo a razão.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. De a1 para a3: q2 = 11.576,25/10.500 = 1,1025, então q = 1,05.
Comentários por alternativa:
- A) 4% daria q2 = 1,0816, menor que a razão observada.
- B) 7% produziria crescimento maior do que o informado no 3º mês.
- C) 6% daria q2 = 1,1236, acima do necessário.
- D) Correto. De a1 para a3: q2 = 11.576,25/10.500 = 1,1025, então q = 1,05.
- E) 8% implicaria saldo no 3º mês superior ao dado.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Em cinco termos, a32 = a1·a5 = 200·3.200 = 640.000, então a3 = 800.
Comentários por alternativa:
- A) 400 é pequeno demais; não é a média geométrica entre 200 e 3.200.
- B) 600 não satisfaz a propriedade a32 = a1·a5.
- C) Correto. Em cinco termos, a32 = a1·a5 = 200·3.200 = 640.000, então a3 = 800.
- D) 1.000 faria a32 = 1.000.000, incompatível com os extremos.
- E) 1.600 é próximo do último termo, não do termo central.
Comentários por alternativa: