Em Matemática, sistemas de equações aparecem em situações reais como comparação de planos, mistura de soluções, produção industrial, trajetos e distribuição de recursos. No Ensino Médio, resolver sistemas exige mais do que aplicar técnicas: é preciso interpretar o contexto, escolher variáveis adequadas e verificar se a solução encontrada faz sentido no problema.
Nesta seleção, as questões exploram sistemas lineares 2×2 e 3×3, além da leitura geométrica e da análise de consistência das equações. Como o nível é difícil, várias situações exigem atenção à modelagem, às restrições do contexto e à validação do resultado, evitando erros comuns de interpretação algébrica.
Questões de sistemas
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. O sistema é f + 40u = 380 e f + 65u = 555; logo u = 7 e f = 80.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. Do sistema 3m + 2p = 13 e 5m + 4p = 23, obtém-se m = 3 e p = 2.
Comentários por alternativa:
- A) Se p = 1, os valores das maçãs ficam incompatíveis entre as duas equações.
- B) Esse valor não mantém consistência simultânea nas duas compras.
- C) Preço alto demais; forçaria valor da maçã incoerente com o segundo conjunto.
- D) Correto. Do sistema 3m + 2p = 13 e 5m + 4p = 23, obtém-se m = 3 e p = 2.
- E) Se p = 3, a primeira compra já excederia o total com facilidade.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Se b + p = 120 e 60b + 100p = 10200, então p = 45.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Se b + p = 120 e 60b + 100p = 10200, então p = 45.
- B) Ainda insuficiente para atingir a receita informada.
- C) Poucas premium; a arrecadação total ficaria abaixo de R$ 10.200.
- D) Com 60 premium, a arrecadação seria maior que a informada.
- E) Premium em excesso; o total arrecadado ultrapassaria bastante o valor dado.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. Resolvendo o sistema, obtém-se x = 4, y = 2 e z = 6.
Comentários por alternativa:
- A) Erro comum ao somar equações sem respeitar coeficientes de y e z.
- B) Valor plausível, mas não satisfaz simultaneamente as três equações.
- C) Se x = 6, a primeira equação impõe y + z = 6, incompatível com as demais.
- D) Esse resultado costuma vir de erro de sinal na segunda equação.
- E) Correto. Resolvendo o sistema, obtém-se x = 4, y = 2 e z = 6.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. Se a e b são os volumes, a + b = 30 e 0,2a + 0,5b = 9,6; logo b = 12.
Comentários por alternativa:
- A) Com 8 litros de B, a concentração final ficaria abaixo de 32%.
- B) Ainda insuficiente para atingir a concentração desejada.
- C) Correto. Se a e b são os volumes, a + b = 30 e 0,2a + 0,5b = 9,6; logo b = 12.
- D) Com 15 litros de B, a mistura ficaria mais concentrada que 32%.
- E) Excesso de solução B; a porcentagem final ultrapassaria bastante a meta.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Multiplicando a primeira por 2, obtém-se 4x – 2y = 2, diferente de 6; são paralelas distintas.
Comentários por alternativa:
- A) Se fossem concorrentes, os coeficientes não seriam proporcionais entre si.
- B) Correto. Multiplicando a primeira por 2, obtém-se 4x – 2y = 2, diferente de 6; são paralelas distintas.
- C) Os coeficientes são proporcionais, mas os termos independentes não são.
- D) Ser múltipla exigiria também proporcionalidade do termo independente, o que não ocorre.
- E) Em sistemas lineares, não existe essa classificação de 'indeterminado parcial'.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Se Bruno = b, então Ana = b + 20 e Caio = 2b; logo 4b + 20 = 210, então b = 47,5… opa. Vamos conferir.
Comentários por alternativa:
- A) Valor baixo; a soma total não alcança R$ 210 com as condições dadas.
- B) Com b = 60, a soma ultrapassa bastante o total informado.
- C) Ainda não fecha exatamente R$ 210 nas três contribuições.
- D) Com b = 50, a soma seria 50 + 70 + 100 = 220.
- E) Correto. Se Bruno = b, então Ana = b + 20 e Caio = 2b; logo 4b + 20 = 210, então b = 47,5… opa. Vamos conferir.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. Se t é a taxa e d a diária, então t + 3d = 290 e t + 5d = 430; d = 70.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Se t é a taxa e d a diária, então t + 3d = 290 e t + 5d = 430; d = 70.
- B) Ainda insuficiente para justificar a variação total de R$ 140.
- C) Diferença entre os pagamentos não seria explicada por duas diárias extras.
- D) Diária alta demais; a diferença entre os contratos ficaria maior que R$ 140.
- E) Esse valor excede o aumento observado entre 3 e 5 diárias.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. A segunda equação deve ser o dobro da primeira; então 2x + 2y = 8.
Comentários por alternativa:
- A) Com k = 2, a segunda reta é paralela à primeira, não coincidente.
- B) Ainda não é múltiplo correto do termo independente da primeira equação.
- C) Também gera retas paralelas distintas, sem solução.
- D) Correto. A segunda equação deve ser o dobro da primeira; então 2x + 2y = 8.
- E) Exige soma x + y = 5, diferente da primeira equação.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Se m e c são as quantidades, 3m + c = 38 e 2m + 2c = 32; logo m = 7.
Comentários por alternativa:
- A) Com 6 mesas, as horas de corte não fecham junto com as de montagem.
- B) Esse valor gera excesso de horas de corte no sistema.
- C) Correto. Se m e c são as quantidades, 3m + c = 38 e 2m + 2c = 32; logo m = 7.
- D) Com 9 mesas, a montagem ficaria incompatível com as 32 horas.
- E) Mesas em excesso; o consumo de corte ultrapassaria 38 horas.
Comentários por alternativa: