As questões a seguir foram inspiradas no estilo da 2ª fase da OBMEP para o Ensino Médio, em que o foco vai além da aplicação mecânica de fórmulas. Em problemas desse nível, é comum combinar contagem, geometria, aritmética, álgebra e raciocínio lógico em situações que exigem organização de ideias, busca de padrões e justificativas consistentes.
Ao resolver, vale a pena testar casos simples, desenhar esquemas, analisar simetrias e verificar se o resultado faz sentido no contexto. Muitas vezes, a dificuldade não está em uma conta longa, mas em perceber a estratégia mais econômica para transformar um problema complexo em etapas menores e controláveis.
Questões: OBMEP 2ª fase 2
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. Há 5! arranjos no total e 2·4! com Ana e Bruno juntos; então 120 – 48 = 72.
Questão 02
Gabarito: alternativa B). Correto. Se a unidade é u, a centena é 2u e o algarismo do meio vale 10 – 3u; isso funciona para u = 1, 2, 3, 4.
Comentários por alternativa:
- A) Falta considerar um dos valores possíveis de u entre 1 e 4.
- B) Correto. Se a unidade é u, a centena é 2u e o algarismo do meio vale 10 – 3u; isso funciona para u = 1, 2, 3, 4.
- C) Esse total inclui um caso em que algum algarismo deixa de estar entre 0 e 9.
- D) Esse valor excede os casos válidos para a condição 10 – 3u >= 0.
- E) Esse total ignora a limitação de algarismos decimais.
Questão 03
Gabarito: alternativa D). Correto. São 8 movimentos, sendo 4 para a direita e 4 para cima: C(8,4) = 70.
Comentários por alternativa:
- A) Esse número é muito pequeno para todas as sequências possíveis de 8 passos.
- B) Esse valor aparece em tabuleiros menores, não no 4 por 4.
- C) Essa contagem subestima as combinações de 4 subidas e 4 deslocamentos à direita.
- D) Correto. São 8 movimentos, sendo 4 para a direita e 4 para cima: C(8,4) = 70.
- E) Esse valor ultrapassa C(8,4), que dá a contagem correta.
Questão 04
Gabarito: alternativa D). Correto. A sequência é 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50? Não; refazendo: 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50 seria se continuasse. Ops, o sétimo é 50.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor não aparece na progressão gerada pelos termos anteriores.
- B) Esse número surge de uma soma feita fora da ordem correta.
- C) Esse valor resulta de erro ao calcular um termo intermediário.
- D) Correto. A sequência é 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50? Não; refazendo: 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50 seria se continuasse. Ops, o sétimo é 50.
- E) Esse número é maior que o sétimo termo correto da sequência.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. A altura divide a base em dois segmentos de 5 cm; então h = 12 e a área é 10·12/2 = 60.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor não corresponde à altura obtida com lados 13, 13 e base 10.
- B) Esse resultado usaria altura 10, que não é a correta.
- C) Correto. A altura divide a base em dois segmentos de 5 cm; então h = 12 e a área é 10·12/2 = 60.
- D) Esse valor não é compatível com base 10 e altura inteira do triângulo.
- E) Esse resultado superestima a altura do triângulo.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Como 7n + 5 ≡ n + 2 (mod 3), para ser divisível por 3 deve valer n + 2 ≡ 0, logo n ≡ 1.
Comentários por alternativa:
- A) Se n ≡ 0, então 7n + 5 ≡ 2 (mod 3), não múltiplo de 3.
- B) Correto. Como 7n + 5 ≡ n + 2 (mod 3), para ser divisível por 3 deve valer n + 2 ≡ 0, logo n ≡ 1.
- C) Se n ≡ 2, então 7n + 5 ≡ 1 (mod 3), não funciona.
- D) A condição determina um único resto, não dois possíveis.
- E) O resto 2 não satisfaz a congruência exigida.
Questão 07
Gabarito: alternativa B). Correto. Se há n equipes, o número de partidas é n(n – 1)/2 = 45; então n = 10.
Comentários por alternativa:
- A) Com 9 equipes haveria 9·8/2 = 36 partidas.
- B) Correto. Se há n equipes, o número de partidas é n(n – 1)/2 = 45; então n = 10.
- C) Com 11 equipes haveria 11·10/2 = 55 partidas.
- D) Com 12 equipes haveria 66 partidas, acima do total dado.
- E) Com 15 equipes haveria 105 partidas, bem acima do valor informado.
Questão 08
Gabarito: alternativa C). Correto. Os pares são 2, 4, …, 100, isto é, 2(1 + 2 + … + 50) = 2·1275 = 2550.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor fica abaixo da soma correta da progressão de 50 termos.
- B) Esse resultado não coincide com a soma de 2 até 100 de dois em dois.
- C) Correto. Os pares são 2, 4, …, 100, isto é, 2(1 + 2 + … + 50) = 2·1275 = 2550.
- D) Esse valor excede a soma da sequência par até 100.
- E) Esse é o total de 1 a 100, não apenas dos pares.
Questão 09
Gabarito: alternativa C). Correto. O volume de um cubo é a3; com aresta 2, temos 23 = 8 m3.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor corresponde a área de uma face com lado 2, não ao volume.
- B) Esse número não resulta de 23.
- C) Correto. O volume de um cubo é a3; com aresta 2, temos 23 = 8 m3.
- D) Esse valor não corresponde ao produto das três dimensões iguais do cubo.
- E) Esse resultado vem de 24, mas o volume usa expoente 3.
Questão 10
Gabarito: alternativa B). Correto. Os inteiros consecutivos são 5, 6 e 7, cujo produto é 210; a soma é 18.
Comentários por alternativa:
- A) Essa soma não corresponde ao trio consecutivo que produz 210.
- B) Correto. Os inteiros consecutivos são 5, 6 e 7, cujo produto é 210; a soma é 18.
- C) Essa soma viria de 6, 7 e 8, cujo produto é 336.
- D) Esse valor não está associado ao produto 210 com consecutivos.
- E) Essa soma seria de números maiores, com produto muito acima de 210.
Comentários por alternativa: