A análise combinatória é a área da Matemática que estuda maneiras de contar possibilidades sem precisar enumerá-las uma a uma. No Ensino Médio, ela aparece em situações como montagem de senhas, organização de equipes, escolhas de roupas, arranjos de lugares e distribuição de objetos.
Para resolver esses problemas, é importante reconhecer se a ordem importa, se há repetição de elementos e se o contexto envolve seleção, arranjo ou permutação. Nesta lista, as questões exploram situações variadas e exigem interpretação cuidadosa das condições de cada problema.
Questões sobre análise combinatória
Questão 01
Gabarito: alternativa C). É uma combinação: C(8,3) = 56.
Questão 02
Gabarito: alternativa E). São 10 opções para cada posição: 104 = 10 000.
Comentários por alternativa:
- A) 210 aparece em combinações, mas aqui as posições diferenciam as senhas.
- B) 504 não corresponde a 10 escolhas em 4 posições.
- C) 1 000 seria 103, com apenas 3 dígitos.
- D) 5 040 é o número de permutações de 7 elementos, não de senhas de 4 dígitos.
- E) São 10 opções para cada posição: 104 = 10 000.
Questão 03
Gabarito: alternativa B). Trate as 3 pessoas como um bloco: 4! formas de organizar os blocos e 3! internas.
Comentários por alternativa:
- A) 36 ignora parte das permutações internas do trio.
- B) Trate as 3 pessoas como um bloco: 4! formas de organizar os blocos e 3! internas.
- C) 120 não corresponde à organização do bloco e das pessoas separadas.
- D) 240 superestima a contagem sem base no arranjo em bloco.
- E) 720 é 6!, como se não houvesse a condição de ficarem juntas.
Questão 04
Gabarito: alternativa D). Escolhe-se 5 entre 12 e depois ordena-se: C(12,5) x 5! = 95 040.
Comentários por alternativa:
- A) 792 é apenas C(12,5), sem considerar a ordem dos livros.
- B) 950 não resulta da escolha e organização dos 5 livros.
- C) 1 320 é um valor parcial, mas não inclui a ordenação dos escolhidos.
- D) Escolhe-se 5 entre 12 e depois ordena-se: C(12,5) x 5! = 95 040.
- E) 4 790 016 é maior do que o necessário para esse tipo de organização.
Questão 05
Gabarito: alternativa D). São cargos diferentes: 9 opções para o primeiro, 8 para o segundo e 7 para o terceiro.
Comentários por alternativa:
- A) 84 é uma combinação ou conta parcial, mas não reflete cargos distintos.
- B) 126 não corresponde ao produto 9 x 8 x 7.
- C) 432 mistura fatores inadequados para três cargos diferentes.
- D) São cargos diferentes: 9 opções para o primeiro, 8 para o segundo e 7 para o terceiro.
- E) 729 é 93, o que supõe repetição e não distinção entre alunos.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). São 4 escolhas em cada uma das 8 questões: 48 = 16 384.
Comentários por alternativa:
- A) 12 288 não é potência de 4 adequada ao total de questões.
- B) São 4 escolhas em cada uma das 8 questões: 48 = 16 384.
- C) 32 768 corresponde a 215, não ao contexto dado.
- D) 65 536 seria 48 dobrado, sem justificativa.
- E) 4 096 é 46, com menos questões do que as apresentadas.
Questão 07
Gabarito: alternativa D). É uma permutação com repetição: 12!/(5!4!3!) = 332 640.
Comentários por alternativa:
- A) 27 720 não considera corretamente todas as repetições de cores.
- B) 55 440 é metade do valor correto, sem fundamento combinatório.
- C) 83 160 ainda não ajusta as repetições de forma adequada.
- D) É uma permutação com repetição: 12!/(5!4!3!) = 332 640.
- E) 479 001 600 é 12!, como se todas as bolas fossem diferentes.
Questão 08
Gabarito: alternativa B). É uma combinação simples: C(7,3) = 35.
Comentários por alternativa:
- A) 21 corresponde a C(7,2), não a 3 sabores.
- B) É uma combinação simples: C(7,3) = 35.
- C) 42 não surge da combinação de 7 sabores em grupos de 3.
- D) 105 seria compatível com contar ordens, o que não acontece aqui.
- E) 210 exagera a contagem ao tratar a ordem como relevante.
Questão 09
Gabarito: alternativa B). Há 26 x 25 escolhas para as letras e 10 x 9 x 8 para os algarismos.
Comentários por alternativa:
- A) 11 232 usa contagem insuficiente para letras e números distintos.
- B) Há 26 x 25 escolhas para as letras e 10 x 9 x 8 para os algarismos.
- C) 156 000 não resulta da multiplicação das escolhas sem repetição.
- D) 1 404 000 acrescenta um zero a mais sem justificativa.
- E) 3 120 000 é maior do que o total obtido pela regra do produto.
Questão 10
Gabarito: alternativa A). Em mesa redonda, a contagem é (4-1)! = 6.
Comentários por alternativa:
- A) Em mesa redonda, a contagem é (4-1)! = 6.
- B) 8 não é o valor da permutação circular de 4 pessoas.
- C) 12 superestima a contagem, como se houvesse posição inicial fixa.
- D) 24 é 4!, sem ajustar as rotações equivalentes.
- E) 36 não corresponde à fórmula de arranjos circulares.
Comentários por alternativa: