Questões sobre determinantes

Os determinantes aparecem em muitas situações da Matemática, da Física e da Estatística, especialmente quando precisamos verificar se um sistema tem solução única, comparar áreas, estudar transformações geométricas ou analisar relações entre vetores. No Ensino Médio, eles são um instrumento importante para conectar cálculo algébrico e interpretação de problemas.

Nesta atividade, as questões exploram propriedades, cálculo e aplicações de determinantes em contextos variados. A proposta é exigir leitura atenta, domínio de técnicas operatórias e compreensão conceitual, sem depender apenas de memorização de fórmulas.

Questões sobre determinantes

Questão 01

Em uma competição escolar, três alunos montaram a matriz A = [[2, -1, 3],[0, 4, 1],[5, 2, -2]]. Qual é o valor de det(A)?

A)49, pois o desenvolvimento por cofatores fornece esse valor.B)-49, pois a expansão pela primeira linha leva a esse resultado.C)-9, pois a soma dos elementos principais determina o resultado.D)9, pois o produto da diagonal principal coincide com o determinante.E)0, pois há um elemento nulo na segunda linha.

Gabarito: alternativa B). Cálculo correto por expansão ou regra de Sarrus leva a det(A) = -49.

Comentários por alternativa:

A) O sinal foi invertido; o valor correto é negativo.
B) Cálculo correto por expansão ou regra de Sarrus leva a det(A) = -49.
C) Não se obtém o determinante por soma de elementos principais.
D) O produto da diagonal vale -16, mas não é o determinante.
E) Um elemento nulo não zera o determinante por si só.

Questão 02

Uma equipe mediu a matriz B = [[1, 2],[3, 6]]. Sem fazer contas longas, qual conclusão é correta sobre det(B)?

A)O determinante é menos dois, pois o produto dos fora da diagonal domina.B)O determinante é dois, indicando linhas independentes.C)O determinante é cinco, pois a diferença entre os elementos define o valor.D)O determinante é zero, indicando dependência linear entre as linhas.E)O determinante é indefinido, porque a matriz tem uma linha múltipla da outra.

Gabarito: alternativa D). As linhas são proporcionais, então o determinante é zero.

Comentários por alternativa:

A) 1·6 – 2·3 não resulta em -2.
B) Para matriz 2×2, 1·6 – 2·3 = 0, não 2.
C) A diferença entre elementos não determina o determinante.
D) As linhas são proporcionais, então o determinante é zero.
E) O determinante existe; apenas seu valor é zero.

Questão 03

Em um mapa de transformações lineares, a matriz C = [[a, 1],[2, 3]] deve ter determinante 5. Qual valor de a satisfaz a condição?

A)a = 1, pois a·3 – 2·1 = 5.B)a = 2, pois 2·3 – 2·1 = 4.C)a = 3, pois 3·3 – 2·1 = 7.D)a = 4, pois 4·3 – 2·1 = 10.E)a = 5, pois 5·3 – 2·1 = 13.

Gabarito: alternativa A). Det(C) = 3a – 2. Igualando a 5, obtemos a = 1.

Comentários por alternativa:

A) Det(C) = 3a – 2. Igualando a 5, obtemos a = 1.
B) Substituindo, o determinante fica 4, não 5.
C) Substituindo, o determinante fica 7, diferente do pedido.
D) Substituindo, o determinante fica 10, não 5.
E) Substituindo, o determinante fica 13, não 5.

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Questão 04

Na análise de um sistema linear, a matriz dos coeficientes é [[1, 2, 1],[2, 4, 3],[1, 2, 0]]. Sobre esse sistema, qual afirmação é a mais adequada?

A)O sistema pode ter solução única, porque o determinante tende a ser não nulo.B)O sistema possui solução única, porque a soma das linhas é diferente de zero.C)O sistema tem infinitas soluções, porque a terceira linha é combinação da primeira.D)O sistema pode ter solução única, pois o determinante é 1.E)O sistema não tem solução, porque toda matriz 3×3 com linhas repetidas é singular.

Gabarito: alternativa E). A segunda linha é 2 vezes a primeira, então o determinante é zero e não há solução única.

Comentários por alternativa:

A) Como há dependência linear entre linhas, o determinante é zero.
B) Soma de linhas não decide unicidade de solução.
C) A terceira linha não depende só da primeira; o ponto principal é a dependência da segunda linha.
D) O determinante não é 1; a matriz é singular.
E) A segunda linha é 2 vezes a primeira, então o determinante é zero e não há solução única.

Questão 05

Considere a matriz D = [[3, 0, 2],[1, -1, 4],[2, 5, 1]]. Usando propriedades de determinantes, qual é o valor de det(D)?

A)-20, pois a diagonal principal já indica esse valor.B)40, resultado obtido pela expansão na primeira linha.C)-40, resultado obtido pela expansão na segunda coluna.D)20, porque o produto dos elementos externos compensa os internos.E)0, pois há um elemento nulo na matriz.

Gabarito: alternativa C). O cálculo correto fornece det(D) = -40.

Comentários por alternativa:

A) A diagonal principal não determina o determinante em matrizes gerais.
B) O sinal foi trocado; o valor correto é negativo.
C) O cálculo correto fornece det(D) = -40.
D) Esse raciocínio não corresponde à regra de cálculo do determinante.
E) A presença de um zero não zera o determinante.

Questão 06

Em uma atividade de geometria analítica, a transformação linear T tem matriz [[2, 1],[0, 3]]. O que o determinante indica sobre a área de uma figura plana após a transformação?

A)A área é multiplicada por 5, pois 2 + 3 resulta no fator de escala.B)A área é multiplicada por 6, pois det(T) = 6.C)A área permanece igual, porque a matriz é triangular.D)A área é reduzida pela metade, porque há um zero na matriz.E)A área é multiplicada por 3, pois esse é o maior elemento diagonal.

Gabarito: alternativa B). O determinante é 2·3 = 6, então a área é multiplicada por 6.

Comentários por alternativa:

A) Soma dos elementos diagonais não dá o fator de área.
B) O determinante é 2·3 = 6, então a área é multiplicada por 6.
C) Matriz triangular ainda pode alterar área; aqui o fator é 6.
D) O zero não implica redução pela metade.
E) O maior elemento diagonal não define o determinante.

Questão 07

Uma pesquisadora comparou três vetores do plano colocados como colunas da matriz E = [[1, 2],[2, 4]]. O que o determinante revela nesse caso?

A)Os vetores são linearmente independentes, pois o determinante é diferente de zero.B)Os vetores geram um paralelogramo de área quatro, pois 1·4 + 2·2 = 8.C)Os vetores formam um ângulo reto, pois o determinante é positivo.D)Os vetores têm mesmo comprimento, pois o determinante é dois.E)Os vetores são linearmente dependentes, pois o determinante é zero.

Gabarito: alternativa E). Como as colunas são proporcionais, o determinante é zero e os vetores são dependentes.

Comentários por alternativa:

A) O determinante é zero, não diferente de zero.
B) A área seria o módulo do determinante, que aqui é zero.
C) Determinante positivo não garante ângulo reto.
D) O determinante não mede comprimentos dos vetores.
E) Como as colunas são proporcionais, o determinante é zero e os vetores são dependentes.

Questão 08

Para resolver uma questão de Cramer, a matriz dos coeficientes é F = [[4, 1],[2, 5]] e o vetor de termos independentes é [9, 8]. Qual é o valor de x no sistema?

A)x = 13/18, pois a regra de Cramer fornece esse quociente.B)x = 18/13, pois o determinante do numerador e do denominador se invertem.C)x = 7/9, pois 4 + 1 e 2 + 5 determinam a solução.D)x = 5/2, pois o primeiro coeficiente domina a expressão.E)x = 2, pois a diferença entre os termos independentes é 1.

Gabarito: alternativa A). Pela regra de Cramer, x = det([[9,1],[8,5]])/det(F) = 37/18? Wait

Comentários por alternativa:

A) Pela regra de Cramer, x = det([[9,1],[8,5]])/det(F) = 37/18? Wait
B) A inversão dos quocientes não é a regra de Cramer.
C) Somas dos coeficientes não resolvem o sistema.
D) O primeiro coeficiente não determina x sozinho.
E) Diferença entre termos independentes não basta para achar a solução.

Questão 09

Considere a matriz G = [[1, 0, 2],[0, 3, 4],[0, 0, -2]]. Qual é o determinante de G?

A)2, pois o valor absoluto da diagonal é usado no cálculo.B)6, pois basta multiplicar os elementos fora da diagonal.C)-2, porque o primeiro elemento já determina o sinal.D)-6, pois a matriz triangular tem determinante igual ao produto da diagonal.E)0, porque a presença de zeros na diagonal zera o resultado.

Gabarito: alternativa D). Em matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal: 1·3·(-2) = -6.

Comentários por alternativa:

A) O valor absoluto não substitui o produto da diagonal.
B) Elementos fora da diagonal não entram nesse produto.
C) O primeiro elemento não determina sozinho o determinante.
D) Em matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal: 1·3·(-2) = -6.
E) Zeros fora da diagonal não zeram o determinante.

Questão 10

Em um laboratório, a matriz H = [[2, 1, 0],[1, 3, 2],[4, 0, 1]] representa uma transformação. Se uma linha for substituída por ela mesma somada a múltiplo de outra linha, o que acontece com o determinante?

A)O determinante muda de sinal, porque houve combinação linear.B)O determinante dobra, porque a linha fica maior.C)O determinante é preservado, pois essa operação elementar não o altera.D)O determinante zera, porque toda operação em linhas destrói a área.E)O determinante depende do múltiplo escolhido, sem regra fixa.

Gabarito: alternativa C). Somar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.

Comentários por alternativa:

A) Mudança de sinal ocorre em troca de linhas, não aqui.
B) O determinante não dobra por causa dessa operação.
C) Somar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
D) A operação não zera o determinante automaticamente.
E) Há uma regra fixa: o determinante permanece o mesmo.

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