Os determinantes aparecem em muitas situações da Matemática, da Física e da Estatística, especialmente quando precisamos verificar se um sistema tem solução única, comparar áreas, estudar transformações geométricas ou analisar relações entre vetores. No Ensino Médio, eles são um instrumento importante para conectar cálculo algébrico e interpretação de problemas.
Nesta atividade, as questões exploram propriedades, cálculo e aplicações de determinantes em contextos variados. A proposta é exigir leitura atenta, domínio de técnicas operatórias e compreensão conceitual, sem depender apenas de memorização de fórmulas.
Questões sobre determinantes
Questão 01
Gabarito: alternativa A). Cálculo correto por expansão ou regra de Sarrus leva a det(A) = -49.
Questão 02
Gabarito: alternativa A). As linhas são proporcionais, então o determinante é zero.
Comentários por alternativa:
- A) As linhas são proporcionais, então o determinante é zero.
- B) Para matriz 2×2, 1·6 – 2·3 = 0, não 2.
- C) A diferença entre elementos não determina o determinante.
- D) 1·6 – 2·3 não resulta em -2.
- E) O determinante existe; apenas seu valor é zero.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Det(C) = 3a – 2. Igualando a 5, obtemos a = 1.
Comentários por alternativa:
- A) Det(C) = 3a – 2. Igualando a 5, obtemos a = 1.
- B) Substituindo, o determinante fica 4, não 5.
- C) Substituindo, o determinante fica 7, diferente do pedido.
- D) Substituindo, o determinante fica 10, não 5.
- E) Substituindo, o determinante fica 13, não 5.
Questão 04
Gabarito: alternativa B). A segunda linha é 2 vezes a primeira, então o determinante é zero e não há solução única.
Comentários por alternativa:
- A) Como há dependência linear entre linhas, o determinante é zero.
- B) A segunda linha é 2 vezes a primeira, então o determinante é zero e não há solução única.
- C) A terceira linha não depende só da primeira; o ponto principal é a dependência da segunda linha.
- D) O determinante não é 1; a matriz é singular.
- E) Soma de linhas não decide unicidade de solução.
Questão 05
Gabarito: alternativa A). O cálculo correto fornece det(D) = -40.
Comentários por alternativa:
- A) O cálculo correto fornece det(D) = -40.
- B) O sinal foi trocado; o valor correto é negativo.
- C) A diagonal principal não determina o determinante em matrizes gerais.
- D) Esse raciocínio não corresponde à regra de cálculo do determinante.
- E) A presença de um zero não zera o determinante.
Questão 06
Gabarito: alternativa A). O determinante é 2·3 = 6, então a área é multiplicada por 6.
Comentários por alternativa:
- A) O determinante é 2·3 = 6, então a área é multiplicada por 6.
- B) Soma dos elementos diagonais não dá o fator de área.
- C) Matriz triangular ainda pode alterar área; aqui o fator é 6.
- D) O zero não implica redução pela metade.
- E) O maior elemento diagonal não define o determinante.
Questão 07
Gabarito: alternativa B). Como as colunas são proporcionais, o determinante é zero e os vetores são dependentes.
Comentários por alternativa:
- A) O determinante é zero, não diferente de zero.
- B) Como as colunas são proporcionais, o determinante é zero e os vetores são dependentes.
- C) Determinante positivo não garante ângulo reto.
- D) O determinante não mede comprimentos dos vetores.
- E) A área seria o módulo do determinante, que aqui é zero.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Pela regra de Cramer, x = det([[9,1],[8,5]])/det(F) = 37/18? Wait
Comentários por alternativa:
- A) Pela regra de Cramer, x = det([[9,1],[8,5]])/det(F) = 37/18? Wait
- B) A inversão dos quocientes não é a regra de Cramer.
- C) Somas dos coeficientes não resolvem o sistema.
- D) O primeiro coeficiente não determina x sozinho.
- E) Diferença entre termos independentes não basta para achar a solução.
Questão 09
Gabarito: alternativa A). Em matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal: 1·3·(-2) = -6.
Comentários por alternativa:
- A) Em matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal: 1·3·(-2) = -6.
- B) Elementos fora da diagonal não entram nesse produto.
- C) O primeiro elemento não determina sozinho o determinante.
- D) O valor absoluto não substitui o produto da diagonal.
- E) Zeros fora da diagonal não zeram o determinante.
Questão 10
Gabarito: alternativa A). Somar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Comentários por alternativa:
- A) Somar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
- B) O determinante não dobra por causa dessa operação.
- C) Mudança de sinal ocorre em troca de linhas, não aqui.
- D) A operação não zera o determinante automaticamente.
- E) Há uma regra fixa: o determinante permanece o mesmo.
Comentários por alternativa: