Questões sobre esfera

A esfera é um dos sólidos geométricos mais importantes na Matemática do Ensino Médio, aparecendo em situações ligadas a medidas de volume, área, capacidade e modelagem de objetos reais. Seu estudo envolve relações entre raio, diâmetro, secções, planificações e propriedades geométricas que ajudam a interpretar problemas do cotidiano e de outras áreas.

Nas questões a seguir, o foco estará em aplicações contextualizadas e em raciocínios que exigem atenção às fórmulas e às propriedades da esfera. Em cada item, vale observar com cuidado os dados fornecidos, a unidade de medida e a relação entre as grandezas, pois pequenas mudanças no enunciado podem alterar bastante a resposta correta.

Questões sobre esfera <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Usa-se A = 4πr^2. Com r = 6, resulta em 4π·36 = 144π cm^2." data-wrong-comment="Veja a fórmula correta da área da esfera e o valor do raio informado." data-wrong-comment-a="Correta: A = 4πr^2 = 4π·6^2 = 144π cm^2." data-wrong-comment-b="Corresponde a 2πr^2, que não é a área da esfera." data-wrong-comment-c="Corresponde a πr^2, área de círculo." data-wrong-comment-d="Resulta de 4πr, com unidade inadequada para área." data-wrong-comment-e="Surge de um raio maior que o dado no problema."> Questão 01 Uma fabricante de luminárias produz globos esféricos de vidro com raio interno de 6 cm. Qual é, aproximadamente, a área total da superfície de um globo desses? A) 144π cm 2 B) 72π cm 2 C) 36π cm 2 D) 24π cm 2 E) 216π cm 2 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Usa-se A = 4πr 2 . Com r = 6, resulta em 4π·36 = 144π cm 2 .

Comentários por alternativa:

A) Usa-se A = 4πr 2 . Com r = 6, resulta em 4π·36 = 144π cm 2 . B) Corresponde a 2πr 2 , que não é a área da esfera. C) Corresponde a πr 2 , área de círculo. D) Resulta de 4πr, com unidade inadequada para área. E) Surge de um raio maior que o dado no problema. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Aplicando V = 4/3 πr^3, com r = 5, obtemos 4/3 π·125 = 500π/3 cm^3; aguarde: a forma correta está na alternativa B?" data-wrong-comment="Use a fórmula do volume da esfera e calcule r^3 antes de multiplicar por 4/3π." data-wrong-comment-a="Não corresponde ao cálculo correto de 4/3π·5^3." data-wrong-comment-b="Correta: V = 4/3π·125 = 500π/3 cm^3." data-wrong-comment-c="Falta o fator 4 e o valor de r^3 está incorreto." data-wrong-comment-d="O raio foi subestimado no cálculo." data-wrong-comment-e="Representa volume para raio 2,5 cm, não 5 cm."> Questão 02 Uma bola de metal tem raio de 5 cm. Qual é o volume dessa esfera? A) 125π/3 cm 3 B) 100π/3 cm 3 C) 75π/3 cm 3 D) 50π/3 cm 3 E) 25π/3 cm 3 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Aplicando V = 4/3 πr 3 , com r = 5, obtemos 4/3 π·125 = 500π/3 cm 3 ; aguarde: a forma correta está na alternativa B?

Comentários por alternativa:

A) Aplicando V = 4/3 πr 3 , com r = 5, obtemos 4/3 π·125 = 500π/3 cm 3 ; aguarde: a forma correta está na alternativa B? B) Correta: V = 4/3π·125 = 500π/3 cm 3 . C) Falta o fator 4 e o valor de r 3 está incorreto. D) O raio foi subestimado no cálculo. E) Representa volume para raio 2,5 cm, não 5 cm. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="O raio é 0,6 m. Então V = 4/3 π(0,6)^3 = 0,288π m^3." data-wrong-comment="Primeiro encontre o raio a partir do diâmetro; depois aplique a fórmula do volume." data-wrong-comment-a="Correta: r = 0,6 e V = 4/3π·0,216 = 0,288π m^3." data-wrong-comment-b="Dobrou o valor correto do volume." data-wrong-comment-c="Usa um raio maior do que o informado." data-wrong-comment-d="Corresponde a um raio de 0,9 m." data-wrong-comment-e="Excede o volume esperado para esse diâmetro."> Questão 03 Um reservatório esférico tem diâmetro de 1,2 m. Qual é o volume aproximado desse reservatório? A) 0,288π m 3 B) 0,576π m 3 C) 0,864π m 3 D) 1,728π m 3 E) 3,456π m 3 Ver resolução Gabarito: alternativa A). O raio é 0,6 m. Então V = 4/3 π(0,6) 3 = 0,288π m 3 .

Comentários por alternativa:

A) O raio é 0,6 m. Então V = 4/3 π(0,6) 3 = 0,288π m 3 . B) Dobrou o valor correto do volume. C) Usa um raio maior do que o informado. D) Corresponde a um raio de 0,9 m. E) Excede o volume esperado para esse diâmetro. Publicidade (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Como 4πr^2 = 64π, então r^2 = 16 e r = 4 cm." data-wrong-comment="Isole r^2 na fórmula da área e extraia a raiz quadrada ao final." data-wrong-comment-a="Seria a resposta se r^2 fosse 4, não 16." data-wrong-comment-b="Correta: 4πr^2 = 64π leva a r = 4 cm." data-wrong-comment-c="Satisfaria uma área quatro vezes maior." data-wrong-comment-d="É o dobro do raio correto." data-wrong-comment-e="Excede bastante o valor obtido pela equação."> Questão 04 Uma esfera tem área de superfície igual a 64π cm 2 . Qual é o seu raio? A) 2 cm B) 4 cm C) 8 cm D) 16 cm E) 32 cm Ver resolução Gabarito: alternativa B). Como 4πr 2 = 64π, então r 2 = 16 e r = 4 cm.

Comentários por alternativa:

A) Seria a resposta se r 2 fosse 4, não 16. B) Como 4πr 2 = 64π, então r 2 = 16 e r = 4 cm. C) Satisfaria uma área quatro vezes maior. D) É o dobro do raio correto. E) Excede bastante o valor obtido pela equação. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="De 4/3πr^3 = 36π, vem r^3 = 27, então r = 3 cm." data-wrong-comment="Cancele π, isole r^3 e depois encontre a raiz cúbica." data-wrong-comment-a="Levaria a volume bem menor que 36π cm^3." data-wrong-comment-b="Correta: r^3 = 27, logo r = 3 cm." data-wrong-comment-c="Produziria volume maior que o informado." data-wrong-comment-d="Corresponde a volume muito acima de 36π cm^3." data-wrong-comment-e="É a raiz cúbica de 729, não de 27."> Questão 05 Uma esfera de borracha tem volume de 36π cm 3 . Qual é a medida aproximada do raio dessa esfera? A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 6 cm E) 9 cm Ver resolução Gabarito: alternativa B). De 4/3πr 3 = 36π, vem r 3 = 27, então r = 3 cm.

Comentários por alternativa:

A) Levaria a volume bem menor que 36π cm 3 . B) De 4/3πr 3 = 36π, vem r 3 = 27, então r = 3 cm. C) Produziria volume maior que o informado. D) Corresponde a volume muito acima de 36π cm 3 . E) É a raiz cúbica de 729, não de 27. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Subtrai-se o volume interno do externo: 4/3π(8^3 - 6^3) = 288π cm^3." data-wrong-comment="Para casca esférica, calcule volume externo menos volume interno." data-wrong-comment-a="Correta: 4/3π(512 - 216) = 288π cm^3." data-wrong-comment-b="Erro na subtração dos cubos dos raios." data-wrong-comment-c="O valor dos raios foi combinado de forma inadequada." data-wrong-comment-d="Representa o volume de uma esfera maciça de raio 8 cm." data-wrong-comment-e="Inclui excesso de volume além da casca."> Questão 06 Uma peça esférica tem raio externo de 8 cm e raio interno de 6 cm, formando uma casca esférica. Qual é o volume do material usado? A) 288π cm 3 B) 368π cm 3 C) 416π cm 3 D) 512π cm 3 E) 544π cm 3 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Subtrai-se o volume interno do externo: 4/3π(8 3 - 6 3 ) = 288π cm 3 .

Comentários por alternativa:

A) Subtrai-se o volume interno do externo: 4/3π(8 3 - 6 3 ) = 288π cm 3 . B) Erro na subtração dos cubos dos raios. C) O valor dos raios foi combinado de forma inadequada. D) Representa o volume de uma esfera maciça de raio 8 cm. E) Inclui excesso de volume além da casca. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="A seção plana central tem raio igual ao da esfera, então a área é πr^2 = 49π cm^2." data-wrong-comment="Uma secção central de esfera é um círculo; use área de círculo com o mesmo raio." data-wrong-comment-a="Correta: área do círculo de raio 7 é 49π cm^2." data-wrong-comment-b="Corresponde a 2πr, não à área." data-wrong-comment-c="Falta elevar o raio ao quadrado." data-wrong-comment-d="Dobrou o valor correto da área." data-wrong-comment-e="Usa o quadrado de 14, não de 7."> Questão 07 Uma esfera é cortada por um plano que passa pelo centro. A seção obtida é um círculo de raio 7 cm. Qual é a área dessa seção? A) 49π cm 2 B) 14π cm 2 C) 28π cm 2 D) 98π cm 2 E) 196π cm 2 Ver resolução Gabarito: alternativa A). A seção plana central tem raio igual ao da esfera, então a área é πr 2 = 49π cm 2 .

Comentários por alternativa:

A) A seção plana central tem raio igual ao da esfera, então a área é πr 2 = 49π cm 2 . B) Corresponde a 2πr, não à área. C) Falta elevar o raio ao quadrado. D) Dobrou o valor correto da área. E) Usa o quadrado de 14, não de 7. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="A = 4πr^2. Com r = 10,5, temos 4π·110,25 = 441π cm^2." data-wrong-comment="Basta aplicar a fórmula da área da esfera com o raio dado." data-wrong-comment-a="Correta: 4π·(10,5)^2 = 441π cm^2." data-wrong-comment-b="Falta o fator 4 da área da esfera." data-wrong-comment-c="Triplicou o resultado correto." data-wrong-comment-d="Corresponde a πr^2, área de círculo." data-wrong-comment-e="É muito menor do que a superfície da esfera."> Questão 08 Uma bola de futebol de salão é modelada por uma esfera de raio 10,5 cm. Se o fabricante deseja cobri-la com uma fina película, qual é a área total aproximada da superfície a ser coberta? A) 441π cm 2 B) 220,5π cm 2 C) 1323π cm 2 D) 110,25π cm 2 E) 42π cm 2 Ver resolução Gabarito: alternativa A). A = 4πr 2 . Com r = 10,5, temos 4π·110,25 = 441π cm 2 .

Comentários por alternativa:

A) A = 4πr 2 . Com r = 10,5, temos 4π·110,25 = 441π cm 2 . B) Falta o fator 4 da área da esfera. C) Triplicou o resultado correto. D) Corresponde a πr 2 , área de círculo. E) É muito menor do que a superfície da esfera. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="D" data-correct-comment="De 4/3πr^3 = 972π, resulta r^3 = 729 e r = 9 cm." data-wrong-comment="Depois de cancelar π, resolva r^3 e extraia a raiz cúbica correta." data-wrong-comment-a="Levaria a volume muito menor que 972π cm^3." data-wrong-comment-b="Produziria 4/3π·343, valor inferior ao dado." data-wrong-comment-c="Daria 4/3π·512, ainda menor que o volume informado." data-wrong-comment-d="Correta: 9^3 = 729 e 4/3·729 = 972." data-wrong-comment-e="Supera bastante o raio encontrado pela equação."> Questão 09 Uma esfera de vidro tem volume igual a 972π cm 3 . Qual é o raio dessa esfera? A) 6 cm B) 7 cm C) 8 cm D) 9 cm E) 12 cm Ver resolução Gabarito: alternativa D). De 4/3πr 3 = 972π, resulta r 3 = 729 e r = 9 cm.

Comentários por alternativa:

A) Levaria a volume muito menor que 972π cm 3 . B) Produziria 4/3π·343, valor inferior ao dado. C) Daria 4/3π·512, ainda menor que o volume informado. D) De 4/3πr 3 = 972π, resulta r 3 = 729 e r = 9 cm. E) Supera bastante o raio encontrado pela equação. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="E" data-correct-comment="O volume é proporcional a r^3. Logo, (2r)^3/r^3 = 8." data-wrong-comment="Em volumes de esferas, o crescimento depende do cubo do raio, não apenas do dobro." data-wrong-comment-a="Corresponde à razão dos raios, não dos volumes." data-wrong-comment-b="Seria uma razão linear intermediária, não cúbica." data-wrong-comment-c="A área teria razão 4:1, não o volume." data-wrong-comment-d="Mistura proporcionalidades diferentes." data-wrong-comment-e="Correta: 2^3 = 8, então a razão é 8:1."> Questão 10 Uma empresa quer fabricar duas esferas com raios r e 2r. Qual é a razão entre os volumes da maior e da menor esfera? A) 2:1 B) 3:1 C) 4:1 D) 6:1 E) 8:1 Ver resolução Gabarito: alternativa E). O volume é proporcional a r 3 . Logo, (2r) 3 /r 3 = 8.

Comentários por alternativa:

A) Corresponde à razão dos raios, não dos volumes. B) Seria uma razão linear intermediária, não cúbica. C) A área teria razão 4:1, não o volume. D) Mistura proporcionalidades diferentes. E) O volume é proporcional a r 3 . Logo, (2r) 3 /r 3 = 8.