A lei dos cossenos é uma ferramenta fundamental para resolver triângulos qualquer, especialmente quando não há ângulo reto. Ela relaciona lados e ângulos de um triângulo, permitindo calcular medidas desconhecidas a partir de três dados bem escolhidos.
No Ensino Médio, essa lei aparece em situações de navegação, engenharia, topografia e geometria plana. Nas questões a seguir, você vai identificar aplicações diretas da fórmula, interpretar resultados e decidir quando usar corretamente a lei dos cossenos.
Questões sobre lei dos cossenos
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Aplicando a lei dos cossenos, BC2 = 72 + 92 – 2·7·9·cos60° = 64, então BC = 8.
Questão 02
Gabarito: alternativa C). Como cos120° = -1/2, a lei dos cossenos dá d2 = 25 + 64 + 40 = 129; d fica próximo de 11,4 m, portanto a opção correta é 13 m?
Comentários por alternativa:
- A) Não coincide com o valor obtido pela aplicação da fórmula.
- B) Ainda fica distante do resultado calculado com 120°.
- C) Como cos120° = -1/2, a lei dos cossenos dá d2 = 25 + 64 + 40 = 129; d fica próximo de 11,4 m, portanto a opção correta é 13 m?
- D) Ultrapassa o comprimento encontrado pela fórmula.
- E) Fica acima da medida resultante do triângulo.
Questão 03
Gabarito: alternativa D). Pela lei dos cossenos, x2 = 102 + 132 – 2·10·13·cos45°, resultando em x ≈ 11,9 cm.
Comentários por alternativa:
- A) Fica abaixo do valor calculado.
- B) Ainda não corresponde ao resultado da fórmula.
- C) É menor do que a medida obtida.
- D) Pela lei dos cossenos, x2 = 102 + 132 – 2·10·13·cos45°, resultando em x ≈ 11,9 cm.
- E) Fica acima da estimativa correta.
Questão 04
Gabarito: alternativa C). Isolando o cosseno, obtém-se cos θ = (62 + 112 – 92)/(2·6·11) = 0,48, então θ ≈ 61°.
Comentários por alternativa:
- A) Esse ângulo é menor que o obtido pelo arco-cosseno.
- B) Ainda não corresponde ao valor de cos θ encontrado.
- C) Isolando o cosseno, obtém-se cos θ = (62 + 112 – 92)/(2·6·11) = 0,48, então θ ≈ 61°.
- D) Fica acima do ângulo determinado pela fórmula.
- E) Excede o resultado da conta.
Questão 05
Gabarito: alternativa D). Pela lei dos cossenos, AB2 = 122 + 152 – 2·12·15·cos30°, resultando em AB ≈ 7,7 km?
Comentários por alternativa:
- A) Essa distância é incompatível com os dados do triângulo.
- B) Fica abaixo do resultado obtido pela fórmula.
- C) Não corresponde ao cálculo com 30°.
- D) Pela lei dos cossenos, AB2 = 122 + 152 – 2·12·15·cos30°, resultando em AB ≈ 7,7 km?
- E) Excede a medida direta calculada.
Questão 06
Gabarito: alternativa D). Com cos90° = 0, a lei dos cossenos vira z2 = 142 + 92, então z = sqrt(277) ≈ 16,6 cm.
Comentários por alternativa:
- A) Fica abaixo da raiz de 277.
- B) Supera um pouco o valor calculado, mas não coincide.
- C) Ainda está acima do resultado exato aproximado.
- D) Com cos90° = 0, a lei dos cossenos vira z2 = 142 + 92, então z = sqrt(277) ≈ 16,6 cm.
- E) Ultrapassa a estimativa obtida.
Questão 07
Gabarito: alternativa D). Como o ângulo é obtuso, o termo com cosseno soma: d2 = 182 + 242 – 2·18·24·cos135°, levando a d ≈ 34 km.
Comentários por alternativa:
- A) Fica abaixo da distância calculada.
- B) Não corresponde ao valor encontrado pela fórmula.
- C) Ainda não atinge o resultado obtido.
- D) Como o ângulo é obtuso, o termo com cosseno soma: d2 = 182 + 242 – 2·18·24·cos135°, levando a d ≈ 34 km.
- E) Excede o cálculo feito com o ângulo de 135°.
Questão 08
Gabarito: alternativa B). Com cos150° = -sqrt(3)/2, a lei dos cossenos fornece um valor próximo de 12 cm.
Comentários por alternativa:
- A) Fica abaixo do valor aproximado obtido.
- B) Com cos150° = -sqrt(3)/2, a lei dos cossenos fornece um valor próximo de 12 cm.
- C) Ultrapassa um pouco a estimativa.
- D) Fica acima do resultado do cálculo.
- E) Passa do comprimento encontrado.
Questão 09
Gabarito: alternativa B). A lei dos cossenos para o lado oposto a C é c2 = a2 + b2 – 2ab cosC.
Comentários por alternativa:
- A) O sinal está incorreto para a lei dos cossenos.
- B) A lei dos cossenos para o lado oposto a C é c2 = a2 + b2 – 2ab cosC.
- C) Falta elevar c ao quadrado.
- D) A diferença entre quadrados dos lados não representa a fórmula.
- E) Mistura a fórmula correta com uma operação sem sentido.
Questão 10
Gabarito: alternativa D). Pela lei dos cossenos, d2 = 202 + 282 – 2·20·28·cos60° = 676, então d = 26 m.
Comentários por alternativa:
- A) Não corresponde ao cálculo da diagonal.
- B) Fica abaixo do valor correto.
- C) Ainda é menor que a medida encontrada.
- D) Pela lei dos cossenos, d2 = 202 + 282 – 2·20·28·cos60° = 676, então d = 26 m.
- E) Iguala um dos lados, o que não ocorre aqui.
Comentários por alternativa: