Questões sobre princípio fundamental da contagem

Em situações de contagem, o princípio fundamental da contagem permite determinar quantas possibilidades existem quando uma tarefa é formada por etapas sucessivas. Em vez de listar uma a uma, multiplicamos a quantidade de opções de cada etapa, desde que as escolhas sejam independentes no contexto proposto.

Esse raciocínio aparece em senhas, placas, cardápios, montagens, roteiros e organizações de pessoas. As questões a seguir exploram esse princípio em contextos mais desafiadores, exigindo atenção às restrições e à ordem das escolhas.

Questões sobre princípio fundamental da contagem

Questão 01

Uma escola vai formar uma comissão com 1 presidente, 1 vice-presidente e 1 secretário entre 8 alunos distintos. Nenhum aluno pode ocupar mais de um cargo. De quantas maneiras diferentes a comissão pode ser formada?

A)56 maneiras, porque basta escolher 3 alunos entre 8.B)336 maneiras, porque há 8 opções para o primeiro cargo, 7 para o segundo e 6 para o terceiro.C)24 maneiras, porque os três cargos podem ser preenchidos em 3! formas.D)512 maneiras, porque cada cargo tem 8 possibilidades independentes.E)168 maneiras, porque há 8 escolhas para o presidente e 21 para os demais cargos.

Gabarito: alternativa B). Correta. Os cargos são distintos, então a ordem importa: 8 x 7 x 6 = 336.

Comentários por alternativa:

A) Escolher 3 entre 8 ignora que os cargos são diferentes.
B) Correta. Os cargos são distintos, então a ordem importa: 8 x 7 x 6 = 336.
C) 3! conta só a troca entre os três cargos, sem escolher os alunos.
D) Os cargos não são independentes, pois um aluno não pode repetir função.
E) A contagem dos dois últimos cargos está incorreta; faltam os arranjos com ordem.

Questão 02

Uma senha é formada por 4 caracteres, usando apenas os algarismos de 0 a 9. O primeiro caractere não pode ser 0 e os caracteres podem se repetir. Quantas senhas diferentes existem?

A)900 senhas, porque o primeiro caractere tem 9 opções e os demais ficam limitados a 10 em conjunto.B)10.000 senhas, pois são 10 possibilidades em cada posição.C)9.999 senhas, pois falta excluir a senha 0000.D)9000 senhas, pois há 9 escolhas para o primeiro caractere e 10 para cada um dos outros.E)8100 senhas, porque há 9 escolhas iniciais e 9 para cada um dos demais caracteres.

Gabarito: alternativa D). Correta. São 9 opções no início e 10 em cada uma das três posições seguintes: 9 x 10 x 10 x 10.

Comentários por alternativa:

A) Os três últimos caracteres não ficam reduzidos a um conjunto comum; cada posição tem 10 opções.
B) Inclui senhas iniciadas por 0, que não são permitidas.
C) A contagem correta não é feita por subtrair só 0000; são 1000 senhas inválidas iniciais.
D) Correta. São 9 opções no início e 10 em cada uma das três posições seguintes: 9 x 10 x 10 x 10.
E) Os caracteres seguintes podem ser 0, então não restam apenas 9 possibilidades.

Questão 03

Um restaurante oferece 3 entradas, 5 pratos principais e 4 sobremesas. Um cliente escolhe exatamente uma opção de cada categoria. Quantos menus distintos podem ser montados?

A)60 menus, porque 3 x 5 x 4 é o número de combinações possíveis.B)12 menus, porque 3 + 5 + 4 representa as escolhas totais.C)20 menus, porque apenas a sobremesa amplia a variação final.D)52 menus, porque se somam as opções e retiram as repetidas.E)15 menus, porque o prato principal determina as demais escolhas.

Gabarito: alternativa A). Correta. Cada etapa é independente: 3 x 5 x 4 = 60.

Comentários por alternativa:

A) Correta. Cada etapa é independente: 3 x 5 x 4 = 60.
B) Somar as opções não representa escolhas sucessivas de categorias diferentes.
C) As três categorias participam da escolha, não apenas a sobremesa.
D) Não há repetição a ser subtraída nesse contexto; trata-se de multiplicar possibilidades.
E) O prato principal não determina entrada nem sobremesa.

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Questão 04

Um código de acesso tem 2 letras distintas seguidas de 3 algarismos distintos. As letras vêm do conjunto {A, B, C, D} e os algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. A ordem importa. Quantos códigos podem ser formados?

A)120 códigos, pois há 4 escolhas para as letras e 5 para os algarismos.B)480 códigos, porque 4 x 3 x 5 x 4 x 2 considera a repetição parcial.C)360 códigos, já que 4 x 5 x 3 x 2 x 1 reúne todas as etapas.D)600 códigos, porque as letras e os números podem ser escolhidos em qualquer ordem.E)240 códigos, porque 4 x 3 x 5 x 4 x 3 representa as possibilidades.

Gabarito: alternativa E). Correta. Letras distintas: 4 x 3. Algarismos distintos: 5 x 4 x 3. Total: 240.

Comentários por alternativa:

A) Não considera que a ordem das letras e dos algarismos importa.
B) A repetição não é parcial; letras e algarismos devem ser distintos dentro de seus blocos.
C) A multiplicação final está incorreta; o total correto é 240.
D) A estrutura do código fixa letras antes dos algarismos.
E) Correta. Letras distintas: 4 x 3. Algarismos distintos: 5 x 4 x 3. Total: 240.

Questão 05

Em uma biblioteca, há 6 livros de Matemática, 4 de Física e 3 de Química. Um estudante vai escolher 1 livro de cada área para levar. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer a escolha?

A)13 maneiras, porque há 13 livros no total.B)18 maneiras, porque 6 + 4 + 3 mede a variação por área.C)72 maneiras, porque 6 x 4 x 3 representa as escolhas independentes.D)24 maneiras, porque as áreas Matemática e Física têm mais livros.E)144 maneiras, porque cada escolha afeta as demais áreas.

Gabarito: alternativa C). Correta. Escolhe-se um livro em cada área: 6 x 4 x 3 = 72.

Comentários por alternativa:

A) Somar o total de livros não representa escolher um de cada área.
B) A soma ignora a exigência de uma escolha por área.
C) Correta. Escolhe-se um livro em cada área: 6 x 4 x 3 = 72.
D) Não há justificativa combinatória para esse valor.
E) As escolhas são independentes, não dependentes entre si.

Questão 06

Uma prova tem 5 questões de múltipla escolha, e cada questão oferece 4 alternativas. Um aluno deve marcar uma alternativa em cada questão. Quantos gabaritos diferentes o aluno pode preencher?

A)20 gabaritos, pois 5 x 4 resume as marcações possíveis.B)1024 gabaritos, porque há 4 escolhas em cada uma das 5 questões.C)625 gabaritos, porque 5⁴ combina as posições e as alternativas.D)256 gabaritos, porque 4⁴ representa quatro blocos de respostas.E)80 gabaritos, porque 4 + 4 + 4 + 4 + 4 conta as marcações.

Gabarito: alternativa B). Correta. Para cada uma das 5 questões há 4 opções, então 4⁵ = 1024.

Comentários por alternativa:

A) Multiplicar 5 por 4 não considera todas as questões.
B) Correta. Para cada uma das 5 questões há 4 opções, então 4⁵ = 1024.
C) A potência foi montada com base incorreta; são 5 questões, não 4.
D) 4⁴ corresponde a apenas quatro questões.
E) Somar alternativas repete a mesma ideia em vez de combinar as etapas.

Questão 07

Um laboratório identifica amostras com um rótulo formado por uma letra maiúscula, seguida de 2 algarismos distintos de 0 a 9. A letra pode ser qualquer uma das 26 do alfabeto. Quantos rótulos diferentes podem existir?

A)260 rótulos, pois 26 x 10 representa a letra e os números.B)520 rótulos, porque os algarismos podem aparecer em qualquer ordem.C)2600 rótulos, porque há 26 opções para a letra e 100 para os números.D)234 rótulos, porque 26 + 10 + 9 é a contagem por etapas.E)2340 rótulos, porque 26 x 10 x 9 considera a distinção dos algarismos.

Gabarito: alternativa E). Correta. A letra tem 26 opções e os dois algarismos distintos têm 10 x 9 opções.

Comentários por alternativa:

A) Não basta escolher um único algarismo; são dois e distintos.
B) A permutação dos algarismos já está incluída em 10 x 9.
C) Os algarismos não podem se repetir, então não são 100 combinações.
D) Somar as quantidades não reflete a formação do rótulo.
E) Correta. A letra tem 26 opções e os dois algarismos distintos têm 10 x 9 opções.

Questão 08

Uma empresa quer montar uma fila com 4 funcionários diferentes para uma foto. Dois deles, Ana e Bruno, devem ficar lado a lado, em qualquer ordem. Quantas filas distintas podem ser formadas?

A)12 filas, porque Ana e Bruno formam um bloco e os demais ocupam as posições restantes.B)24 filas, porque 4! conta todas as ordenações possíveis.C)8 filas, porque há 2 ordens para o casal e 4 posições para o grupo.D)6 filas, porque sobram apenas 3 pessoas independentes depois do bloco.E)16 filas, porque cada um dos quatro pode ficar em duas posições.

Gabarito: alternativa A). Correta. Trate Ana e Bruno como um bloco: 3 elementos para ordenar, com 2 ordens internas. Total 3! x 2 = 12.

Comentários por alternativa:

A) Correta. Trate Ana e Bruno como um bloco: 3 elementos para ordenar, com 2 ordens internas. Total 3! x 2 = 12.
B) 4! inclui casos em que Ana e Bruno não ficam juntos.
C) A contagem das posições não é feita desse modo; o bloco já organiza a vizinhança.
D) Ainda existem 3 elementos a ordenar, mas o total não é 6.
E) A situação não é de escolha binária por pessoa; trata-se de ordenação.

Questão 09

Uma placa de identificação deve ter 2 letras maiúsculas, seguidas de 2 algarismos. As letras podem se repetir, mas os algarismos devem ser diferentes entre si. Quantas placas diferentes podem ser produzidas?

A)67.600 placas, porque 26 x 26 x 10 x 10 é a contagem completa.B)5.850 placas, porque a repetição de letras reduz uma ordem de grandeza.C)6.760 placas, porque 26 + 26 + 10 + 9 conta as possibilidades por posição.D)58.500 placas, porque 26 x 26 x 10 x 9 considera a restrição dos algarismos.E)65.000 placas, porque a ordem das letras pode ser trocada sem alterar o total.

Gabarito: alternativa D). Correta. Letras com repetição: 26 x 26. Algarismos distintos: 10 x 9. Total: 58.500.

Comentários por alternativa:

A) Os algarismos não podem se repetir, então 10 x 10 não serve.
B) A conta não é por ordem de grandeza, mas por multiplicação de etapas.
C) Somar posições não calcula combinações independentes.
D) Correta. Letras com repetição: 26 x 26. Algarismos distintos: 10 x 9. Total: 58.500.
E) A troca das letras não reduz nem altera a contagem nessa estrutura fixa.

Questão 10

Em uma maratona escolar, cada participante escolhe: uma cor de camiseta entre 5 opções, um número de peito entre 8 opções e um tênis de uma entre 3 marcas autorizadas. Quantos conjuntos distintos de escolha existem?

A)16 conjuntos, porque 5 + 8 + 3 representa as opções totais.B)96 conjuntos, porque 5 x 8 x 3 – 24 compensa escolhas repetidas.C)120 conjuntos, porque 5 x 8 x 3 reúne as escolhas independentes.D)56 conjuntos, porque 5 x 8 considera apenas camiseta e número.E)15 conjuntos, porque as três categorias formam uma única decisão.

Gabarito: alternativa C). Correta. São três escolhas independentes: 5 x 8 x 3 = 120.

Comentários por alternativa:

A) Somar as categorias não representa combinações entre elas.
B) Não há repetição a ser subtraída nesse enunciado.
C) Correta. São três escolhas independentes: 5 x 8 x 3 = 120.
D) A marca do tênis também faz parte da escolha.
E) As decisões são separadas em três etapas, não uma só.

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