Sistemas lineares com três incógnitas aparecem em situações de produção, finanças, misturas e organização de dados, quando três quantidades desconhecidas precisam satisfazer simultaneamente várias condições. No Ensino Médio, resolver esse tipo de problema exige interpretar bem o contexto, montar as equações corretamente e analisar se o sistema possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução compatível.
Em questões mais difíceis, o desafio costuma estar menos na conta mecânica e mais na modelagem, na comparação entre métodos e na leitura algébrica do sistema. Por isso, é importante relacionar substituição, escalonamento e análise de determinantes com o significado prático dos resultados, verificando se a solução encontrada faz sentido no cenário apresentado.
Questões sobre sistema linear 3
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. Montando o sistema e resolvendo, obtém-se A = 30, B = 50 e C = 40.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. A solução do sistema é x = 5, y = 8 e z = 5.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor não atende à terceira equação após substituir x e y corretamente.
- B) Com z = 4, a soma total das três soluções não fecha 18.
- C) Esse número pode aparecer por erro ao somar equações com sinais trocados.
- D) Correto. A solução do sistema é x = 5, y = 8 e z = 5.
- E) Se z = 7, a segunda equação deixa de ser verdadeira.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. A segunda equação é múltipla da primeira, restando duas equações independentes para três incógnitas.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. A segunda equação é múltipla da primeira, restando duas equações independentes para três incógnitas.
- B) Não há unicidade, porque uma equação é redundante e o sistema fica com grau de liberdade.
- C) Não há contradição; existe um conjunto infinito de ternas que satisfaz as equações.
- D) O sistema não é homogêneo, pois os termos independentes não são todos nulos.
- E) Mesmo sem unicidade, isso não implica impossibilidade; o sistema continua compatível.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. Com R = 20, o sistema reduz-se e resulta em P = 70 e Q = 30.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor não mantém a soma total de 120 peças.
- B) Se Q = 45, a quantidade de P fica incompatível com os dados.
- C) Com Q = 35, a equação 2P + Q + R = 170 não fecha.
- D) Esse resultado viola a equação P + 3Q + 2R = 290.
- E) Correto. Com R = 20, o sistema reduz-se e resulta em P = 70 e Q = 30.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. A linha 0x + 0y + 0z = 5 representa uma impossibilidade.
Comentários por alternativa:
- A) A terceira linha não fornece z = 5; ela indica uma igualdade impossível.
- B) Não há variável livre válida quando aparece 0 = 5 na matriz.
- C) Correto. A linha 0x + 0y + 0z = 5 representa uma impossibilidade.
- D) Sistema homogêneo exige termos independentes nulos em todas as equações equivalentes relevantes.
- E) A contradição impede qualquer solução, mesmo com x e y aparentemente definidos.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Resolvendo, obtém-se a = 4, b = 3 e c = 2, logo a – c = 2?
Comentários por alternativa:
- A) Essa diferença não corresponde à terna que satisfaz as três equações.
- B) Correto. Resolvendo, obtém-se a = 4, b = 3 e c = 2, logo a – c = 2?
- C) Com a = 4 e c = 2, a diferença correta não é essa.
- D) Esse valor resulta de erro ao substituir em uma das equações.
- E) Esse resultado não é compatível com o sistema dado.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Das duas primeiras equações, y = 20; depois, x + z = 30 e a terceira dá z = 30.
Comentários por alternativa:
- A) Com z = 20, a terceira equação não é satisfeita após determinar x e y.
- B) Esse valor não mantém coerência com x + z = 30 e a última relação.
- C) Esse número torna negativa a quantidade de maçãs no sistema.
- D) Se z = 35, a soma total excede 50 caixas ao calcular x e y.
- E) Correto. Das duas primeiras equações, y = 20; depois, x + z = 30 e a terceira dá z = 30.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. O determinante da matriz dos coeficientes é k – 5, nulo quando k = 5.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. O determinante da matriz dos coeficientes é k – 5, nulo quando k = 5.
- B) Esse caso ainda mantém independência linear entre as equações.
- C) Para esse valor, o determinante não zera e há solução única.
- D) Com k = 6, a matriz continua inversível.
- E) Esse valor não altera a unicidade da solução de forma crítica.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. Resolvendo o sistema, obtém-se x = 15, y = 14 e z = 19; a menor é y.
Comentários por alternativa:
- A) A pontuação de A não é a menor quando se obtém a solução correta.
- B) Não há empate entre A e B nos valores encontrados.
- C) A equipe C termina com a maior pontuação, não a menor.
- D) Correto. Resolvendo o sistema, obtém-se x = 15, y = 14 e z = 19; a menor é y.
- E) As pontuações de B e C são diferentes no sistema resolvido.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Do sistema, resulta x = 30, y = 30 e z = 30.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor não satisfaz a segunda e a terceira equações simultaneamente.
- B) Com x = 25, a soma das demais variáveis fica incompatível com os dados.
- C) Correto. Do sistema, resulta x = 30, y = 30 e z = 30.
- D) Esse valor produz excesso na terceira equação ao ajustar y e z.
- E) Se x = 40, a primeira equação força valores que contradizem a segunda.
Comentários por alternativa: