Problemas de torneiras aparecem com frequência em Matemática por envolverem taxas de variação, proporcionalidade e análise de situações do cotidiano. Em geral, cada torneira “faz” uma parte do trabalho por unidade de tempo, enquanto ralos ou vazamentos “desfazem” parte desse enchimento. Resolver esse tipo de questão exige interpretar corretamente o que significa encher ou esvaziar um reservatório e combinar as taxas de forma coerente.
No Ensino Médio, esses exercícios também podem exigir leitura cuidadosa, modelagem algébrica e comparação entre diferentes cenários, inclusive com abertura e fechamento em instantes distintos. Nesta seleção, as questões foram elaboradas em contextos realistas, com nível difícil, para desenvolver raciocínio quantitativo e evitar respostas por mera memorização de fórmulas.
Torneiras: Questões
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. Em 1 hora, A e B enchem 1/6 + 1/4 = 5/12 da caixa; resta 7/12, que A enche em 7/2 horas.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. A taxa líquida é 30 + 20 – 10 = 40 L/min. Então 900/40 = 22,5 min.
Comentários por alternativa:
- A) Corresponderia a uma taxa maior que a real; o ralo reduz o enchimento.
- B) Seria correto se a taxa líquida fosse 45 L/min, o que não ocorre.
- C) Resultado de usar 36 L/min ou arredondar indevidamente a vazão líquida.
- D) Correto. A taxa líquida é 30 + 20 – 10 = 40 L/min. Então 900/40 = 22,5 min.
- E) Equivale a ignorar uma das torneiras ou superestimar o efeito do ralo.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Falta encher 2/3 da piscina, e a taxa líquida é 1/8 – 1/24 = 1/12 da piscina por hora.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Falta encher 2/3 da piscina, e a taxa líquida é 1/8 – 1/24 = 1/12 da piscina por hora.
- B) Ainda subestima o tempo; a taxa líquida é menor que a da torneira sozinha.
- C) Seria o tempo para encher a piscina inteira sem considerar parte já cheia e vazamento.
- D) Ignora o efeito do vazamento, que reduz a taxa de enchimento.
- E) Superestima o efeito do vazamento; o enchimento ocorre mais rápido que isso.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. Juntas, enchem 12/35 por hora. Para 60%, levam 0,6 ÷ 12/35 = 1,75 h; falta 40%, que P enche em 2 h.
Comentários por alternativa:
- A) Subestima a segunda etapa; P precisa de tempo relevante para os 40% finais.
- B) Valor próximo, mas menor que a soma correta das duas etapas.
- C) Erro comum ao calcular 60% do tanque com a taxa conjunta.
- D) Superestima a primeira etapa; as duas juntas têm vazão considerável.
- E) Correto. Juntas, enchem 12/35 por hora. Para 60%, levam 0,6 ÷ 12/35 = 1,75 h; falta 40%, que P enche em 2 h.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. A enche 3/12 = 1/4 da cisterna; faltam 3/4, que B enche em (3/4) ÷ (1/18) = 13,5 h?
Comentários por alternativa:
- A) Ainda abaixo do tempo real; B leva bastante para preencher a parte restante.
- B) Menor que o correto se B precisasse de 10 horas para 3/4, mas sua taxa é mais lenta.
- C) Correto. A enche 3/12 = 1/4 da cisterna; faltam 3/4, que B enche em (3/4) ÷ (1/18) = 13,5 h?
- D) Aproximação indevida; a conta exata não resulta em número inteiro.
- E) Seria o tempo de B para 2/3 da cisterna, não para 3/4.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Nas 2 primeiras horas, a taxa líquida é 1/9 + 1/6 – 1/18 = 2/9 por hora, enchendo 4/9. Restam 5/9, que S enche em 10/3 h.
Comentários por alternativa:
- A) Muito baixo; desconsidera o tempo adicional necessário após as 2 horas iniciais.
- B) Correto. Nas 2 primeiras horas, a taxa líquida é 1/9 + 1/6 – 1/18 = 2/9 por hora, enchendo 4/9. Restam 5/9, que S enche em 10/3 h.
- C) Subestima a segunda etapa; S sozinha não completa tão rápido o volume restante.
- D) Valor próximo, mas maior que o cálculo exato.
- E) Superestima o tempo; a primeira etapa já enche uma parte significativa.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Em 10 min, a taxa líquida é 40 L/min: entra 400 L. Volume vai a 700 L. Depois, perde 150 L, restando 550 L.
Comentários por alternativa:
- A) Superestima o enchimento inicial; a caixa começou com apenas 300 L.
- B) Desconsidera parte da perda após o desligamento da torneira.
- C) Corresponde a perder apenas 50 L depois, mas o vazamento atua por 15 minutos.
- D) É o volume no instante do desligamento, antes dos 15 minutos adicionais.
- E) Correto. Em 10 min, a taxa líquida é 40 L/min: entra 400 L. Volume vai a 700 L. Depois, perde 150 L, restando 550 L.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. As 3 torneiras juntas fazem 1 reservatório em 2 h; cada uma faz 1/6 por hora. Duas fazem 1/3 por hora.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. As 3 torneiras juntas fazem 1 reservatório em 2 h; cada uma faz 1/6 por hora. Duas fazem 1/3 por hora.
- B) Tempo maior que o necessário; duas torneiras mantêm boa vazão.
- C) Seria o tempo para 2/3 do reservatório com duas torneiras, não para 3/4.
- D) Superestima a duração; a taxa conjunta de duas torneiras é suficiente para menos tempo.
- E) Corresponde a tratar cada torneira como mais lenta do que realmente é.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. Nos primeiros 5 min entram 400 L. Depois, por 10 min, entram 120 L/min, totalizando 1 200 L. Soma: 1 400 L.
Comentários por alternativa:
- A) Considera apenas 10 minutos com a primeira torneira, ignorando a segunda etapa completa.
- B) Subestima o volume da fase com as duas torneiras abertas.
- C) Equivale a contar apenas os 10 minutos finais com ambas abertas.
- D) Correto. Nos primeiros 5 min entram 400 L. Depois, por 10 min, entram 120 L/min, totalizando 1 200 L. Soma: 1 400 L.
- E) Superestima a contribuição das torneiras no intervalo total.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. A taxa conjunta é 1/3 e a de A é 1/5; então a de B é 1/3 – 1/5 = 2/15 do reservatório por hora.
Comentários por alternativa:
- A) B seria rápida demais; sua taxa é menor que a de A.
- B) Corresponde a uma taxa de 1/8, inferior à encontrada pela diferença.
- C) Correto. A taxa conjunta é 1/3 e a de A é 1/5; então a de B é 1/3 – 1/5 = 2/15 do reservatório por hora.
- D) Tempo excessivo; implicaria vazão de apenas 1/9 por hora.
- E) Muito alto; B não é tão lenta, pois junto com A enche em apenas 3 horas.
Comentários por alternativa: