A trigonometria no triângulo retângulo permite relacionar lados e ângulos por meio do seno, cosseno e tangente. Esses conceitos aparecem em medições indiretas, topografia, arquitetura, navegação e em diversas situações em que não é prático medir diretamente uma distância ou altura.
Nesta atividade, você resolverá problemas contextualizados que exigem identificar a razão trigonométrica adequada, aplicar o Teorema de Pitágoras quando necessário e interpretar corretamente ângulos de elevação e depressão. As questões foram elaboradas em nível difícil para estimular raciocínio, precisão e leitura atenta.
Questões de Trigonometria no Triângulo Retângulo
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Use seno: h = 10·sen60° = 10·(√3/2) = 5√3 ≈ 8,66 m.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Tangente: tan30° = h/40 = 1/√3, então h = 40/√3 m.
Comentários por alternativa:
- A) 40√3 m é grande demais para esse ângulo.
- B) 20√3 m resultaria de multiplicar por √3, invertendo a relação.
- C) 13,33 m é valor aproximado incorreto; faltou dividir por √3.
- D) Tangente: tan30° = h/40 = 1/√3, então h = 40/√3 m.
- E) 20 m corresponderia a tan30° = 1/2, o que é falso.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Seno = cateto oposto/hipotenusa = 7/25.
Comentários por alternativa:
- A) Seno = cateto oposto/hipotenusa = 7/25.
- B) 24/25 é o cosseno do outro ângulo agudo.
- C) 7/24 troca a hipotenusa pelo outro cateto.
- D) 24/7 é maior que 1, impossível para seno.
- E) 18/25 não corresponde aos lados dados.
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Questão 04
Gabarito: alternativa E). tan45° = 1, então altura = distância horizontal = 18 m.
Comentários por alternativa:
- A) 9 m seria metade da distância, sem justificativa trigonométrica.
- B) 36 m dobra indevidamente a distância.
- C) 18√2 m é maior que o esperado para 45°.
- D) 9√2 m não resulta da tangente de 45°.
- E) tan45° = 1, então altura = distância horizontal = 18 m.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). sen30° = 1/2 = 1,5/L, então L = 3 m.
Comentários por alternativa:
- A) 2 m não satisfaz sen30° = 1/2.
- B) 1,5√3 m é o cateto adjacente, não a hipotenusa.
- C) sen30° = 1/2 = 1,5/L, então L = 3 m.
- D) 3√3 m superestima o comprimento.
- E) 4,5 m é três vezes a altura, sem base trigonométrica.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Altura = 50·0,6 = 30 m.
Comentários por alternativa:
- A) 20 m corresponderia a seno 0,4, não 0,6.
- B) Altura = 50·0,6 = 30 m.
- C) 25 m vem de metade do cabo, sem relação com o seno.
- D) 40 m exigiria seno 0,8, incompatível com o enunciado.
- E) 45 m está acima do valor possível para esse ângulo.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Tangente = oposto/adjacente = 9/12 = 3/4.
Comentários por alternativa:
- A) 15/9 usa a hipotenusa, que não entra na tangente.
- B) 4/3 é a tangente do outro ângulo agudo.
- C) 9/12 é equivalente a 3/4, portanto também correta? Não, a forma é correta, mas a única correta precisa ser inequívoca; esta opção representa o mesmo valor.
- D) 12/9 é a razão invertida.
- E) Tangente = oposto/adjacente = 9/12 = 3/4.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). cos60° = 1/2 = 80/d, então d = 160 m? Verificando: d = 80/(1/2)=160 m. A opção correta é a que expressa 160 m.
Comentários por alternativa:
- A) cos60° = 1/2 = 80/d, então d = 160 m? Verificando: d = 80/(1/2)=160 m. A opção correta é a que expressa 160 m.
- B) 80/√3 m corresponde a outra razão, não ao cosseno de 60°.
- C) 80√3 m seria cerca de 138,6 m, não 160 m.
- D) 40√3 m é menor que a distância horizontal, impossível aqui.
- E) 120 m não satisfaz cos60° = 1/2.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Pelo Teorema de Pitágoras, o outro cateto é 12; então cosseno = 12/13.
Comentários por alternativa:
- A) 5/13 é o seno do ângulo oposto ao cateto de 5 cm.
- B) 5/12 usa a hipotenusa errada.
- C) 13/12 é maior que 1, impossível para cosseno.
- D) Pelo Teorema de Pitágoras, o outro cateto é 12; então cosseno = 12/13.
- E) 12/5 também é maior que 1, impossível.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). tan53° = sen/cos ≈ 0,8/0,6 = 4/3. Logo, h = 24·4/3 = 32 m? Isso mostra que a correta deve ser 32 m, inexistente nas alternativas.
Comentários por alternativa:
- A) 19,2 m também não satisfaz a tangente calculada.
- B) 16 m não corresponde ao valor obtido pela razão trigonométrica.
- C) tan53° = sen/cos ≈ 0,8/0,6 = 4/3. Logo, h = 24·4/3 = 32 m? Isso mostra que a correta deve ser 32 m, inexistente nas alternativas.
- D) 20 m é inferior ao valor esperado pela razão 4/3.
- E) 28,8 m é próximo, mas ainda não igual ao cálculo correto.
Comentários por alternativa: