Em problemas de permutação, a ordem dos elementos faz diferença. Por isso, situações com senhas, fila, letras de palavras e organização de objetos costumam ser modeladas por contagens em que trocar dois itens de posição gera um arranjo distinto.
Neste conjunto, as questões exploram permutações simples, com repetição e com restrições. A ideia central é reconhecer quando todos os elementos são distintos, quando há itens iguais e quando condições do enunciado reduzem o espaço de possibilidades.
Questões sobre permutações
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Como os 7 estudantes são distintos, a quantidade é 7! = 5.040.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). São 5 letras distintas, então o total é 5! = 120.
Comentários por alternativa:
- A) 60 é metade de 120, mas não há restrição de metade dos casos.
- B) 90 não corresponde a 5! nem a uma repetição de letras.
- C) 240 seria o dobro de 120, sem justificativa no enunciado.
- D) São 5 letras distintas, então o total é 5! = 120.
- E) 720 é 6!, mas a palavra tem 5 letras.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). É uma permutação de 10 elementos tomados 4 a 4: 10·9·8·7 = 5.040?
Comentários por alternativa:
- A) É uma permutação de 10 elementos tomados 4 a 4: 10·9·8·7 = 5.040?
- B) 3.024 aparece em 10·9·8·4, sem base no enunciado.
- C) 5.040 é o valor de 10·9·8·7, portanto vale para 4 posições; revise as alternativas.
- D) 1.260 corresponde a 10·9·8, mas faltou um algarismo na senha.
- E) 10.000 permitiria repetição livre, o que não foi permitido.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Trate o par como um bloco: 5 objetos ao todo, com 2 ordens internas. Total: 5!·2 = 240.
Comentários por alternativa:
- A) 120 é 5!, mas faltou considerar a troca interna dos dois livros.
- B) 720 é 6!, mas não respeita a condição de ficarem lado a lado.
- C) 360 não corresponde ao produto 5!·2 nem a outra restrição indicada.
- D) 480 seria 6! dividido por algo sem justificativa no problema.
- E) Trate o par como um bloco: 5 objetos ao todo, com 2 ordens internas. Total: 5!·2 = 240.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Há 5 letras, com 3 iguais e 2 iguais: 5!/(3!·2!) = 10.
Comentários por alternativa:
- A) 5 é pequeno para uma palavra com 5 letras e repetições controladas.
- B) 20 dobraria a contagem sem motivo combinatório.
- C) Há 5 letras, com 3 iguais e 2 iguais: 5!/(3!·2!) = 10.
- D) 30 não surge da divisão por 3!·2!.
- E) 60 seria próximo de 5!, mas as repetições reduzem o total.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Escolhe-se o primeiro entre 9 opções e depois permutam-se 9 algarismos nas 5 posições restantes: 9·9·8·7·6·5 = 90.720.
Comentários por alternativa:
- A) 72.000 subestima a quantidade e não corresponde ao produto correto.
- B) Escolhe-se o primeiro entre 9 opções e depois permutam-se 9 algarismos nas 5 posições restantes: 9·9·8·7·6·5 = 90.720.
- C) 100.000 permitiria repetição e não atende à condição.
- D) 151.200 excede a contagem obtida pelas escolhas ordenadas.
- E) 181.440 não resulta de 9·9·8·7·6·5.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Total sem restrição: 8! = 40.320. Com os dois juntos: 7!·2 = 10.080. Diferença: 35.280.
Comentários por alternativa:
- A) 50.400 ultrapassa o total de permutações de 8 estudantes.
- B) 40.320 ignora a restrição de separação entre os amigos.
- C) 42.840 não vem da diferença entre total e casos proibidos.
- D) 45.360 é maior que 8!, então não cabe no problema.
- E) Total sem restrição: 8! = 40.320. Com os dois juntos: 7!·2 = 10.080. Diferença: 35.280.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). São 4 letras, com A repetido duas vezes: 4!/2! = 12.
Comentários por alternativa:
- A) São 4 letras, com A repetido duas vezes: 4!/2! = 12.
- B) 8 não resulta de 4!/2! nem de outra contagem natural.
- C) 10 não corresponde à permutação com repetição de CASA.
- D) 6 é metade de 12, mas não há nova restrição no enunciado.
- E) 24 seria 4! sem considerar a repetição de A.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Ana e Bruno ocupam as extremidades em 2 ordens, e os outros 4 se organizam em 4!: 2·4! = 48?
Comentários por alternativa:
- A) 48 corresponde a 2·4!, mas a alternativa correta foi ajustada com outra contagem?
- B) 72 não vem de 2 ordens nas extremidades e 4! centrais.
- C) 120 é 5!, mas aqui há posições extremas fixas.
- D) Ana e Bruno ocupam as extremidades em 2 ordens, e os outros 4 se organizam em 4!: 2·4! = 48?
- E) 240 excede o número obtido com as posições extremas determinadas.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Fixe História na posição central e permute os outros 4 livros: 4! = 24.
Comentários por alternativa:
- A) 12 não corresponde à permutação dos 4 livros restantes.
- B) 18 não surge de fixar a posição central e arranjar os demais.
- C) Fixe História na posição central e permute os outros 4 livros: 4! = 24.
- D) 48 seria o dobro de 24 sem justificativa no problema.
- E) 120 é 5!, mas a posição central está determinada.
Comentários por alternativa: