Questões sobre trigonometria

A trigonometria permite modelar relações entre ângulos e medidas em diferentes contextos, como navegação, arquitetura, engenharia e análise de movimentos. No Ensino Médio, ela é explorada por meio do ciclo trigonométrico, das razões seno, cosseno e tangente, e de identidades que ajudam a resolver situações geométricas e algébricas.

Nesta lista, as questões contextualizadas exigem interpretação, cálculo e comparação entre valores trigonométricos em graus e em radianos. O objetivo é verificar domínio conceitual e capacidade de aplicar propriedades fundamentais, com atenção às relações entre ângulos notáveis, quadrantes, periodicidade e gráficos.

Questões sobre trigonometria

Questão 01

Um drone sobe formando um ângulo de 30° com o solo. Se ele percorre 40 m nessa direção, qual é a altura aproximada alcançada?

A)20√3 m, pois a altura corresponde ao cateto adjacente ao ângulo de 30°.B)20 m, pois a altura corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 30°.C)40/√3 m, porque esse é o valor do cateto oposto em um triângulo de 30°.D)10 m, porque o seno de 30° é metade da medida total percorrida.E)30 m, porque o ângulo de 30° indica diretamente a altura.

Gabarito: alternativa B). Correto. Usa-se sen 30° = altura/40, então altura = 40·1/2 = 20 m.

Comentários por alternativa:

A) O valor 20√3 m corresponde ao cateto adjacente, não à altura.
B) Correto. Usa-se sen 30° = altura/40, então altura = 40·1/2 = 20 m.
C) 40/√3 não resulta da relação com sen 30° nesse triângulo.
D) Metade de 40 m seria 20 m, não 10 m.
E) O ângulo não determina a altura sozinho; é preciso usar a razão trigonométrica.

Questão 02

Em um canteiro, uma escada de 10 m faz um ângulo de 60° com o chão. Qual é a distância do pé da escada até a parede?

A)8,66 m, porque corresponde ao seno de 60° multiplicado por 10.B)5√3 m, pois a distância horizontal é o cateto oposto ao ângulo dado.C)10√3/2 m, porque cos 60° relaciona a base com a hipotenusa.D)5 m, pois o cateto adjacente vale metade da hipotenusa em 60°.E)2,5 m, pois a projeção horizontal é um quarto da escada.

Gabarito: alternativa D). Correto. cos 60° = base/10, então base = 10·1/2 = 5 m.

Comentários por alternativa:

A) 8,66 m vem do seno de 60°, que calcula a altura.
B) 5√3 m é o valor do cateto oposto, não da base.
C) 10√3/2 é equivalente a 5√3, e não a 5 m.
D) Correto. cos 60° = base/10, então base = 10·1/2 = 5 m.
E) A projeção horizontal não é um quarto da hipotenusa nesse caso.

Questão 03

Durante o estudo de ondas sonoras, uma função é dada por f(x)=2 sen x. Qual é o valor máximo de f(x)?

A)2, porque o seno varia entre -1 e 1.B)1, porque o seno atinge seu maior valor em x = 0.C)0, porque a função oscila em torno do eixo horizontal.D)4, porque o coeficiente 2 dobra o alcance do seno e soma mais 2.E)-2, porque o valor máximo ocorre no ponto mais baixo do ciclo.

Gabarito: alternativa A). Correto. Como sen x ≤ 1, o máximo de 2 sen x é 2.

Comentários por alternativa:

A) Correto. Como sen x ≤ 1, o máximo de 2 sen x é 2.
B) Em x = 0, sen x vale 0, não o máximo.
C) A oscilação em torno do eixo não impede valores positivos e negativos.
D) O fator 2 apenas multiplica o máximo do seno, que continua sendo 1.
E) -2 é o valor mínimo, não o máximo.

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Questão 04

No ciclo trigonométrico, um ponto correspondente ao ângulo de 150° tem coordenadas (x, y). Quais são essas coordenadas?

A)(-√2/2, √2/2), pois 150° é um ângulo de referência de 45°.B)(√3/2, 1/2), pois o cosseno permanece positivo em 150°.C)(-1/2, √3/2), porque 150° tem seno maior que cosseno.D)(1/2, -√3/2), pois o ângulo é suplementar de 30°.E)(-√3/2, 1/2), pois 150° está no 2º quadrante.

Gabarito: alternativa E). Correto. 150° = 180° – 30°, então cos 150° = -√3/2 e sen 150° = 1/2.

Comentários por alternativa:

A) 150° não é associado ao ângulo de referência de 45°.
B) No 2º quadrante, o cosseno é negativo.
C) Esses valores correspondem a 120°, não a 150°.
D) O ângulo está no 2º quadrante, então y não é negativo.
E) Correto. 150° = 180° – 30°, então cos 150° = -√3/2 e sen 150° = 1/2.

Questão 05

Uma rampa acessível deve ter inclinação tal que tan θ = 1/4. Qual é, aproximadamente, o valor de θ?

A)45°, pois a tangente cresce linearmente com o ângulo.B)30°, porque tan 30° é igual a 1/4.C)14° ou 15°, pois a tangente é pequena e positiva.D)60°, porque uma tangente menor que 1 ocorre em ângulos grandes.E)75°, pois esse valor costuma aparecer para pequenas inclinações.

Gabarito: alternativa C). Correto. tan θ = 1/4 corresponde a um ângulo agudo próximo de 14°.

Comentários por alternativa:

A) tan 45° = 1, maior que 1/4.
B) tan 30° = 1/√3, não 1/4.
C) Correto. tan θ = 1/4 corresponde a um ângulo agudo próximo de 14°.
D) Em 60°, a tangente é √3, maior que 1.
E) 75° gera tangente muito maior que 1/4.

Questão 06

Considere o valor de cos(2π/3). Qual é o resultado correto?

A)1/2, porque o ângulo é maior que π/2 e o cosseno fica positivo.B)-1/2, porque 2π/3 está no 2º quadrante.C)-√3/2, pois 2π/3 é equivalente a 150°.D)√3/2, porque o ângulo de referência é π/6.E)0, porque 2π/3 é um múltiplo de π/2.

Gabarito: alternativa B). Correto. 2π/3 = 120°, e cos 120° = -1/2.

Comentários por alternativa:

A) No 2º quadrante, o cosseno é negativo.
B) Correto. 2π/3 = 120°, e cos 120° = -1/2.
C) 150° corresponde a 5π/6, não a 2π/3.
D) O ângulo de referência é π/3, não π/6.
E) 2π/3 não é múltiplo de π/2.

Questão 07

Em uma ponte, a deformação vertical de um cabo é modelada por y = 3 cos x. Qual é a amplitude da função?

A)6, porque a oscilação vai de -3 até 3.B)1, porque toda função cosseno tem amplitude unitária.C)0, porque a função oscila em torno do eixo x.D)π, porque a amplitude depende do período da função.E)3, pois é o valor absoluto do coeficiente do cosseno.

Gabarito: alternativa E). Correto. A amplitude é o módulo do coeficiente que multiplica o cosseno, isto é, 3.

Comentários por alternativa:

A) 6 é a variação total, não a amplitude.
B) A amplitude unitária vale apenas para cos x sem fator multiplicativo.
C) Oscilar em torno do eixo não significa amplitude zero.
D) A amplitude não é dada por π.
E) Correto. A amplitude é o módulo do coeficiente que multiplica o cosseno, isto é, 3.

Questão 08

Uma função periódica tem período 2π. Qual é o menor valor positivo de x para o qual sen x = sen 5π/6?

A)7π/6, porque os ângulos com mesmo seno podem se repetir no 2º e 3º quadrantes.B)π/6, porque é o ângulo de referência de 5π/6.C)5π/6, porque o mesmo seno ocorre apenas no próprio ângulo.D)11π/6, porque o seno de 5π/6 é igual ao de seu suplemento.E)13π/6, porque o seno só se repete após adicionar π.

Gabarito: alternativa A). Correto. sen x = sen a ocorre em x = a ou x = π – a + 2kπ; o próximo positivo é 7π/6.

Comentários por alternativa:

A) Correto. sen x = sen a ocorre em x = a ou x = π – a + 2kπ; o próximo positivo é 7π/6.
B) π/6 tem o mesmo valor absoluto, mas o sinal pode mudar conforme o quadrante.
C) Há outros ângulos com o mesmo seno, além do próprio.
D) 11π/6 tem seno negativo, não igual a sen 5π/6.
E) A repetição do seno depende da simetria e do período, não de somar π nesse caso.

Questão 09

Na resolução de um triângulo retângulo, sabe-se que sen θ = 3/5 e θ é agudo. Qual é o valor de cos θ?

A)-4/5, porque todo triângulo retângulo pode ter cosseno negativo.B)3/5, porque seno e cosseno são iguais em ângulos agudos.C)5/3, pois o cosseno é o inverso do seno.D)4/5, pois sen² θ + cos² θ = 1 e θ está no 1º quadrante.E)-3/5, pois o ângulo agudo está acima de 90°.

Gabarito: alternativa D). Correto. cos θ = √(1 – 9/25) = 4/5, com sinal positivo por ser ângulo agudo.

Comentários por alternativa:

A) Em ângulo agudo, o cosseno é positivo.
B) Seno e cosseno não precisam ser iguais.
C) O cosseno não é o inverso do seno.
D) Correto. cos θ = √(1 – 9/25) = 4/5, com sinal positivo por ser ângulo agudo.
E) Ângulos agudos estão entre 0° e 90°.

Questão 10

Um observador mede a altura de um prédio a partir de um ponto no solo. A distância até a base é 50 m e o ângulo de elevação é 37°. Considere sen 37° ≈ 0,6 e cos 37° ≈ 0,8. Qual é a altura aproximada do prédio?

A)37 m, porque o ângulo de elevação coincide com a altura em metros.B)40 m, porque a base de 50 m deve ser multiplicada por cos 37°.C)30 m, porque a altura é 50 vezes sen 37°.D)62,5 m, porque a altura é 50 dividido por cos 37°.E)20 m, porque o seno de 37° indica um quinto da distância.

Gabarito: alternativa C). Correto. A altura é 50·sen 37° ≈ 50·0,6 = 30 m.

Comentários por alternativa:

A) O ângulo não se converte diretamente em metros.
B) 50·cos 37° calcula o cateto adjacente, não a altura.
C) Correto. A altura é 50·sen 37° ≈ 50·0,6 = 30 m.
D) 50/cos 37° dá a hipotenusa de um triângulo, não a altura.
E) O seno de 37° vale aproximadamente 0,6, não 1/5.

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