A distância entre dois pontos no plano cartesiano é uma ferramenta central da geometria analítica. Ela permite comparar posições, calcular comprimentos e resolver problemas em situações reais, como trajetos, deslocamentos e medidas indiretas.
Para encontrar essa distância, geralmente combinamos coordenadas com o Teorema de Pitágoras. Em questões mais difíceis, aparecem pontos com frações, simetrias, reflexão em eixos e interpretação geométrica, exigindo atenção aos cálculos e à leitura do enunciado.
Questões sobre distância entre dois pontos
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. As diferenças são 6 e 8, então d = √(62 + 82) = 10.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. As variações são 6 e 6, então d = √(62 + 62) = 6√2.
Comentários por alternativa:
- A) A distância não é √6; as variações são 6 e 6.
- B) Soma os módulos, mas a distância é pitagórica.
- C) √72 é equivalente, mas aqui a forma pedida pode ser simplificada para 6√2; como alternativa, não é a forma mais direta.
- D) Correto. As variações são 6 e 6, então d = √(62 + 62) = 6√2.
- E) Os catetos não são 3 e 3; as diferenças corretas são 6 e 6.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. O lado mede 4 e a diagonal de um quadrado vale lado·√2, então 4√2.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. O lado mede 4 e a diagonal de um quadrado vale lado·√2, então 4√2.
- B) A diagonal é maior que o lado em um quadrado.
- C) Dobrar o lado não descreve a diagonal do quadrado.
- D) Os catetos não são 2 e 5 nesse problema.
- E) A relação com a diagonal depende do lado, não de metade dele.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. As diferenças são 8 e 6, então d = √(82 + 62) = 10.
Comentários por alternativa:
- A) A expressão mistura valor absoluto com caminho em duas etapas, não a reta.
- B) 8 não é a distância, mas apenas um dos deslocamentos.
- C) √(82 + 62) simplifica para 10, não 2√13.
- D) 14 é a soma dos deslocamentos, não a distância em linha reta.
- E) Correto. As diferenças são 8 e 6, então d = √(82 + 62) = 10.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. Como V está no eixo x, V=(x,0) e (x+2)2+72=52 não tem solução real; logo a distância foi lida de forma inconsistente.
Comentários por alternativa:
- A) Com y=0, a distância não permite essa única posição sem verificar a equação correta.
- B) A distância não se resolve por subtração direta de coordenadas.
- C) Correto. Como V está no eixo x, V=(x,0) e (x+2)2+72=52 não tem solução real; logo a distância foi lida de forma inconsistente.
- D) O valor de y não vira abscissa nessa configuração.
- E) Somar coordenadas não determina a posição no eixo x.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. De A a C, as diferenças são 6 e 8, então AC = √(62 + 82) = 10.
Comentários por alternativa:
- A) AC não é horizontal; os pontos têm y diferentes.
- B) Correto. De A a C, as diferenças são 6 e 8, então AC = √(62 + 82) = 10.
- C) AC não é vertical; os pontos têm x diferentes.
- D) A diferença vertical é 8, não 4.
- E) Os catetos não são 3 e 2 nessa medida.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. As diferenças são 6 e 12, então d = √(36 + 144) = √180 = 6√5.
Comentários por alternativa:
- A) 6√5 é a forma simplificada correta, não com esse raciocínio de diferenças trocadas.
- B) √(62 + 122) é √180, não 12.
- C) √90 não corresponde ao cálculo com 6 e 12.
- D) 18 é a soma das variações, não a distância reta.
- E) Correto. As diferenças são 6 e 12, então d = √(36 + 144) = √180 = 6√5.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. O ponto médio é a média das coordenadas: ((−3+1)/2, (4+1)/2) = (−1, 5/2).
Comentários por alternativa:
- A) Correto. O ponto médio é a média das coordenadas: ((−3+1)/2, (4+1)/2) = (−1, 5/2).
- B) A média das ordenadas é 5/2, não 3.
- C) Ponto médio não é diferença das coordenadas dividida por 2.
- D) Não se toma metade do ponto de maior valor.
- E) O ponto médio depende de ambas as coordenadas.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. As diferenças são 10 e 6, então AC = √(102 + 62) = √136 = 2√34.
Comentários por alternativa:
- A) 10 é apenas a variação horizontal, não a diagonal.
- B) 16 é a soma das variações, não a distância.
- C) √136 é equivalente, mas aqui a forma simplificada pedida é 2√34.
- D) Correto. As diferenças são 10 e 6, então AC = √(102 + 62) = √136 = 2√34.
- E) Os catetos não são 6 e 4 nesse caso.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Pela relação pitagórica, t2 + 122 = 132, então t = 5.
Comentários por alternativa:
- A) 13 não é o cateto horizontal nessa configuração.
- B) 12 não satisfaz t2 + 144 = 169.
- C) Correto. Pela relação pitagórica, t2 + 122 = 132, então t = 5.
- D) 7 não gera 13 ao combinar com 12.
- E) Somar 13 e 12 não resolve a equação da distância.
Comentários por alternativa: