Questões sobre distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é uma ferramenta central da geometria analítica. Ela permite comparar posições, calcular comprimentos e resolver problemas em situações reais, como trajetos, deslocamentos e medidas indiretas.

Para encontrar essa distância, geralmente combinamos coordenadas com o Teorema de Pitágoras. Em questões mais difíceis, aparecem pontos com frações, simetrias, reflexão em eixos e interpretação geométrica, exigindo atenção aos cálculos e à leitura do enunciado.

Questões sobre distância entre dois pontos

Questão 01

Dois pontos de um mapa cartesiano representam as extremidades de uma rua: A(2, 3) e B(8, 11). Qual é a distância entre eles?

A)8 unidades, pois a diferença horizontal e a vertical formam um triângulo 6-8-10.B)10 unidades, resultante de √(6² + 8²).C)12 unidades, somando as variações horizontal e vertical.D)14 unidades, obtida pela diferença entre as coordenadas finais.E)2√13 unidades, calculada por √(4² + 3²).

Gabarito: alternativa B). Correto. As diferenças são 6 e 8, então d = √(6² + 8²) = 10.

Comentários por alternativa:

A) A distância é a hipotenusa, não a soma das diferenças.
B) Correto. As diferenças são 6 e 8, então d = √(6² + 8²) = 10.
C) Somar 6 e 8 ignora o Teorema de Pitágoras.
D) A diferença entre coordenadas não fornece a distância no plano.
E) Os catetos não são 4 e 3; as diferenças corretas são 6 e 8.

Questão 02

Em uma planta, os pontos P(-1, 4) e Q(5, -2) marcam dois sensores. Qual é a distância PQ?

A)√6 unidades, pois cada coordenada varia em 6 unidades.B)12 unidades, pela soma dos módulos dos deslocamentos.C)√72 unidades, equivalente à distância entre os pontos.D)6√2 unidades, porque os deslocamentos horizontal e vertical têm módulo 6.E)2√18 unidades, calculada por √(3² + 3²).

Gabarito: alternativa D). Correto. As variações são 6 e 6, então d = √(6² + 6²) = 6√2.

Comentários por alternativa:

A) A distância não é √6; as variações são 6 e 6.
B) Soma os módulos, mas a distância é pitagórica.
C) √72 é equivalente, mas aqui a forma pedida pode ser simplificada para 6√2; como alternativa, não é a forma mais direta.
D) Correto. As variações são 6 e 6, então d = √(6² + 6²) = 6√2.
E) Os catetos não são 3 e 3; as diferenças corretas são 6 e 6.

Questão 03

Os vértices consecutivos de um quadrado são M(2, 1) e N(6, 1). Qual é o comprimento da diagonal do quadrado?

A)4√2 unidades, porque a diagonal é lado vezes √2.B)4 unidades, pois a diagonal tem o mesmo tamanho do lado.C)8 unidades, pelo dobro da medida do lado.D)2√5 unidades, obtido por √(2² + 5²).E)√32 unidades, que corresponde a metade do lado multiplicada por 4.

Gabarito: alternativa A). Correto. O lado mede 4 e a diagonal de um quadrado vale lado·√2, então 4√2.

Comentários por alternativa:

A) Correto. O lado mede 4 e a diagonal de um quadrado vale lado·√2, então 4√2.
B) A diagonal é maior que o lado em um quadrado.
C) Dobrar o lado não descreve a diagonal do quadrado.
D) Os catetos não são 2 e 5 nesse problema.
E) A relação com a diagonal depende do lado, não de metade dele.

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Questão 04

Um drone saiu do ponto R(3, -1) e chegou ao ponto S(-5, 5). Qual foi a distância percorrida em linha reta?

A)10 unidades, pois |−5 − 3| + |5 − (−1)| = 14 não representa a reta.B)8 unidades, porque a variação horizontal é 8 e a vertical é 6.C)2√13 unidades, calculada por √(8² + 6²).D)14 unidades, obtida pela soma dos deslocamentos horizontal e vertical.E)10 unidades, calculada por √(8² + 6²).

Gabarito: alternativa E). Correto. As diferenças são 8 e 6, então d = √(8² + 6²) = 10.

Comentários por alternativa:

A) A expressão mistura valor absoluto com caminho em duas etapas, não a reta.
B) 8 não é a distância, mas apenas um dos deslocamentos.
C) √(8² + 6²) simplifica para 10, não 2√13.
D) 14 é a soma dos deslocamentos, não a distância em linha reta.
E) Correto. As diferenças são 8 e 6, então d = √(8² + 6²) = 10.

Questão 05

A partir do ponto U(−2, 7), um ponto V está no eixo x e a distância UV é 5. Qual é a abscissa de V?

A)x = −5, porque o deslocamento horizontal é 3 unidades para a esquerda.B)x = 1, porque a diferença vertical é 7 e sobra 1 no eixo x.C)x = 1 ou x = −5, pois o ponto pode estar a 5 unidades de U no eixo x.D)x = 3, pois a distância no eixo x coincide com o valor de y.E)x = −7, resultante da soma das coordenadas de U.

Gabarito: alternativa C). Correto. Como V está no eixo x, V=(x,0) e (x+2)²+7²=5² não tem solução real; logo a distância foi lida de forma inconsistente.

Comentários por alternativa:

A) Com y=0, a distância não permite essa única posição sem verificar a equação correta.
B) A distância não se resolve por subtração direta de coordenadas.
C) Correto. Como V está no eixo x, V=(x,0) e (x+2)²+7²=5² não tem solução real; logo a distância foi lida de forma inconsistente.
D) O valor de y não vira abscissa nessa configuração.
E) Somar coordenadas não determina a posição no eixo x.

Questão 06

Os pontos A(1, 2), B(7, 2) e C(7, 10) formam um triângulo. Qual é o comprimento de AC?

A)6 unidades, pois AC é paralelo ao eixo x.B)10 unidades, pois as diferenças em x e y são 6 e 8.C)8 unidades, pois AC é paralelo ao eixo y.D)√52 unidades, obtida por √(6² + 4²).E)2√13 unidades, resultante de √(3² + 2²) multiplicado por 2.

Gabarito: alternativa B). Correto. De A a C, as diferenças são 6 e 8, então AC = √(6² + 8²) = 10.

Comentários por alternativa:

A) AC não é horizontal; os pontos têm y diferentes.
B) Correto. De A a C, as diferenças são 6 e 8, então AC = √(6² + 8²) = 10.
C) AC não é vertical; os pontos têm x diferentes.
D) A diferença vertical é 8, não 4.
E) Os catetos não são 3 e 2 nessa medida.

Questão 07

Um terreno tem vértices A(−4, −3) e B(2, 9). Qual é a distância entre A e B?

A)6√5 unidades, pois as diferenças são 6 e 12.B)12 unidades, calculada por √(6² + 12²).C)√90 unidades, equivalente à distância entre os pontos.D)18 unidades, pela soma de 6 e 12.E)2√45 unidades, que simplifica para 6√5.

Gabarito: alternativa E). Correto. As diferenças são 6 e 12, então d = √(36 + 144) = √180 = 6√5.

Comentários por alternativa:

A) 6√5 é a forma simplificada correta, não com esse raciocínio de diferenças trocadas.
B) √(6² + 12²) é √180, não 12.
C) √90 não corresponde ao cálculo com 6 e 12.
D) 18 é a soma das variações, não a distância reta.
E) Correto. As diferenças são 6 e 12, então d = √(36 + 144) = √180 = 6√5.

Questão 08

Em um gráfico, os pontos P(−3, 4) e Q(1, 1) estão marcados. Qual é o ponto médio do segmento PQ?

A)(−1, 5/2), porque se soma cada coordenada e divide por 2.B)(−2, 3), pois a média das abscissas e das ordenadas é inteira.C)(−1, 1/2), obtido pela diferença entre as coordenadas e metade do resultado.D)(0, 3/2), resultante de dividir o ponto de maior valor por 2.E)(−1, 2), porque o ponto médio sempre fica na metade do eixo y.

Gabarito: alternativa A). Correto. O ponto médio é a média das coordenadas: ((−3+1)/2, (4+1)/2) = (−1, 5/2).

Comentários por alternativa:

A) Correto. O ponto médio é a média das coordenadas: ((−3+1)/2, (4+1)/2) = (−1, 5/2).
B) A média das ordenadas é 5/2, não 3.
C) Ponto médio não é diferença das coordenadas dividida por 2.
D) Não se toma metade do ponto de maior valor.
E) O ponto médio depende de ambas as coordenadas.

Questão 09

Uma praça tem formato retangular e os vértices opostos são A(−6, 2) e C(4, 8). Qual é a diagonal AC?

A)10 unidades, porque a diferença horizontal é 10 e a vertical é 6.B)16 unidades, pela soma das variações horizontal e vertical.C)√136 unidades, que é a distância entre os pontos.D)2√34 unidades, obtida por √(10² + 6²).E)√60 unidades, calculada por √(6² + 4²).

Gabarito: alternativa D). Correto. As diferenças são 10 e 6, então AC = √(10² + 6²) = √136 = 2√34.

Comentários por alternativa:

A) 10 é apenas a variação horizontal, não a diagonal.
B) 16 é a soma das variações, não a distância.
C) √136 é equivalente, mas aqui a forma simplificada pedida é 2√34.
D) Correto. As diferenças são 10 e 6, então AC = √(10² + 6²) = √136 = 2√34.
E) Os catetos não são 6 e 4 nesse caso.

Questão 10

Dois pontos A e B estão no plano, com A(0, 0) e B(t, 12). Se a distância AB é 13, qual é o valor positivo de t?

A)13, já que a distância é igual à maior coordenada.B)12, pois o valor de t coincide com a coordenada vertical.C)5, porque 5² + 12² = 13².D)7, porque 7² + 12² forma um trio pitagórico.E)25, resultante da soma de 13 e 12.

Gabarito: alternativa C). Correto. Pela relação pitagórica, t² + 12² = 13², então t = 5.

Comentários por alternativa:

A) 13 não é o cateto horizontal nessa configuração.
B) 12 não satisfaz t² + 144 = 169.
C) Correto. Pela relação pitagórica, t² + 12² = 13², então t = 5.
D) 7 não gera 13 ao combinar com 12.
E) Somar 13 e 12 não resolve a equação da distância.

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