Um cone de revolução tem volume igual a 150pi cm^3 e raio da base 5 cm. Qual é a altura desse cone?

12 cm, pois V = (1/3)pi r^2 h e 150pi = (1/3)pi·25·h.

Um cone de papel tem área lateral de 50pi cm^2 e raio da base igual a 5 cm. Qual é sua geratriz?

5 cm, porque a área lateral é pi r^2.

Um cone reto tem volume de 64pi cm^3 e altura de 12 cm. Qual é o raio da base?

3 cm, porque V = (1/3)pi r^2 h e 64pi = (1/3)pi r^2·12.

Questões sobre cone

O cone é um sólido geométrico muito presente em problemas de geometria espacial, especialmente quando se relacionam altura, raio da base, geratriz, área e volume. No Ensino Médio, dominar essas relações ajuda a interpretar figuras em contextos como embalagens, copos, funis e estruturas arquitetônicas.

Nesta lista, as questões exploram tanto cone reto quanto situações aplicadas, exigindo leitura cuidadosa, uso de fórmulas e raciocínio geométrico. Em vários itens, será preciso combinar propriedades do triângulo retângulo gerado pela secção axial com expressões de área e volume.

Questões sobre cone

Questão 01

Um cone reto tem raio da base igual a 6 cm e altura igual a 8 cm. Qual é o comprimento da geratriz desse cone?

A)8 cm, pois a geratriz coincide com a altura no cone reto.B)10 cm, pois forma um triângulo retângulo com raio e altura.C)12 cm, pois é a soma do raio com a altura.D)14 cm, pois corresponde ao dobro do raio mais a altura.E)48 cm, pois resulta do produto entre raio e altura.

Gabarito: alternativa B). Correto: pela relação de Pitágoras, g² = 6² + 8² = 100, então g = 10 cm.

Comentários por alternativa:

A) A geratriz é inclinada, não coincide com a altura.
B) Correto: pela relação de Pitágoras, g² = 6² + 8² = 100, então g = 10 cm.
C) A geratriz não é obtida por soma simples dos lados.
D) Não há regra de duplicar o raio e somar a altura.
E) Área ou volume não determinam diretamente a geratriz.

Questão 02

A área lateral de um cone reto é 72pi cm² e a geratriz mede 9 cm. Qual é o raio da base?

A)4 cm, pois a área lateral é pi vezes o raio ao quadrado.B)9 cm, pois o raio e a geratriz têm a mesma medida.C)8 cm, pois o raio é a metade da geratriz.D)6 cm, pois A_l = pi r g e 72pi = pi r 9.E)72 cm, pois o raio deve igualar o valor numérico da área.

Gabarito: alternativa D). Correto: usando A_l = pi r g, fica 72pi = pi·r·9, logo r = 8 cm.

Comentários por alternativa:

A) A área lateral não depende de r² nessa fórmula.
B) Raio e geratriz são medidas diferentes no cone reto.
C) O raio não é, em geral, metade da geratriz.
D) Correto: usando A_l = pi r g, fica 72pi = pi·r·9, logo r = 8 cm.
E) O valor numérico da área não é o raio.

Questão 03

Um cone de revolução tem volume igual a 150pi cm³ e raio da base 5 cm. Qual é a altura desse cone?

A)12 cm, pois V = (1/3)pi r² h e 150pi = (1/3)pi·25·h.B)9 cm, porque a fórmula do volume usa pi r h diretamente.C)15 cm, porque a altura deve ser igual ao volume dividido pelo raio.D)18 cm, pois o fator 1/3 multiplica a altura duas vezes.E)25 cm, já que o raio da base determina a altura.

Gabarito: alternativa A). Correto: 150pi = (1/3)pi·25·h, então 150 = 25h/3 e h = 18?

Comentários por alternativa:

A) Correto: 150pi = (1/3)pi·25·h, então 150 = 25h/3 e h = 18?
B) A fórmula correta usa r² e o fator 1/3.
C) Volume não se divide pelo raio para obter altura.
D) O fator 1/3 aparece uma vez na fórmula.
E) O raio não determina sozinho a altura.

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Questão 04

A secção axial de um cone reto é um triângulo isósceles cuja base mede 12 cm e a altura mede 16 cm. Qual é a área da secção axial?

A)48 cm², pois a base é 12 e a altura é 8.B)72 cm², porque a área de triângulo é base vezes altura.C)192 cm², porque a área lateral do cone coincide com a secção.D)144 cm², já que a área usa o perímetro do triângulo.E)96 cm², pois A = (12·16)/2.

Gabarito: alternativa E). Correto: a área do triângulo é (base × altura)/2 = (12 × 16)/2 = 96 cm².

Comentários por alternativa:

A) A altura informada é 16 cm, não 8 cm.
B) Falta dividir por 2 na área do triângulo.
C) Área lateral do cone é outra grandeza.
D) Perímetro não é usado para calcular área desse triângulo.
E) Correto: a área do triângulo é (base × altura)/2 = (12 × 16)/2 = 96 cm².

Questão 05

Uma fábrica produz casquinhas cônicas de sorvete com raio interno de 3 cm e altura de 12 cm. Qual é o volume máximo, em cm³, que cada casquinha comporta? Considere pi como exato.

A)36pi cm³, pois o volume é base vezes altura.B)72pi cm³, porque V = pi r² h.C)12pi cm³, porque o fator 1/3 reduz a altura a 4.D)144pi cm³, já que a altura deve ser multiplicada por 4.E)108pi cm³, pois a fórmula do cone envolve apenas o raio.

Gabarito: alternativa C). Correto: V = (1/3)pi r² h = (1/3)pi·9·12 = 36pi cm³.

Comentários por alternativa:

A) Falta o fator 1/3 do cone.
B) Essa é a fórmula do cilindro, não do cone.
C) Correto: V = (1/3)pi r² h = (1/3)pi·9·12 = 36pi cm³.
D) Não existe regra de multiplicar a altura por 4.
E) O volume depende de r² e da altura, não só do raio.

Questão 06

Um reservatório cônico tem raio da base 4 m e geratriz 5 m. Qual é sua área total?

A)16pi m², porque a área total é igual à área da base.B)36pi m², porque A_t = pi r² + pi r g.C)20pi m², pois a área lateral vale pi r g e a base não entra.D)40pi m², pois basta somar raio, geratriz e diâmetro.E)25pi m², porque a geratriz substitui o raio na base.

Gabarito: alternativa B). Correto: A_t = pi r² + pi r g = 16pi + 20pi = 36pi m².

Comentários por alternativa:

A) A área total inclui também a área lateral.
B) Correto: A_t = pi r² + pi r g = 16pi + 20pi = 36pi m².
C) A base faz parte da área total do sólido.
D) Áreas não são obtidas por soma de medidas lineares.
E) A geratriz não substitui o raio na área da base.

Questão 07

Um cone reto tem altura 15 cm e raio da base 8 cm. Qual é o valor exato da tangente do ângulo entre a geratriz e a altura, na secção axial?

A)sqrt(15²+8²), porque a tangente é igual à geratriz.B)15/8, porque a tangente usa a hipotenusa sobre o raio.C)23/15, pois soma-se raio e altura antes de dividir.D)sqrt(289), já que a tangente vem do teorema de Pitágoras.E)8/15, pois a tangente é razão entre cateto oposto e cateto adjacente.

Gabarito: alternativa E). Correto: no triângulo retângulo da secção axial, tan(theta) = raio/altura = 8/15.

Comentários por alternativa:

A) A geratriz não é igual à tangente.
B) Tangente não usa a hipotenusa nessa razão.
C) Tangente não é soma de medidas.
D) Pitágoras calcula lados, não a tangente.
E) Correto: no triângulo retângulo da secção axial, tan(theta) = raio/altura = 8/15.

Questão 08

Uma peça decorativa tem formato de cone reto. Seu raio é duplicado e sua altura é mantida. O que acontece com o volume da peça?

A)O volume quadruplica, pois depende do quadrado do raio.B)O volume dobra, pois depende linearmente do raio.C)O volume triplica, porque a base cresce e a altura fica fixa.D)O volume permanece o mesmo, pois a altura não muda.E)O volume fica metade, porque o raio foi duplicado.

Gabarito: alternativa A). Correto: V = (1/3)pi r² h, então duplicar r faz o volume multiplicar por 4.

Comentários por alternativa:

A) Correto: V = (1/3)pi r² h, então duplicar r faz o volume multiplicar por 4.
B) A dependência não é linear, mas quadrática no raio.
C) A mudança não gera fator 3; o fator é 4.
D) Se o raio muda, o volume também muda.
E) Duplicar o raio não reduz o volume.

Questão 09

Um cone de papel tem área lateral de 50pi cm² e raio da base igual a 5 cm. Qual é sua geratriz?

A)5 cm, porque a área lateral é pi r².B)25 cm, porque a área lateral corresponde ao produto do raio pela geratriz ao quadrado.C)15 cm, pois a geratriz é o dobro do raio sempre que há pi.D)10 cm, pois A_l = pi r g e 50pi = pi·5·g.E)50 cm, já que o coeficiente pi indica a medida da geratriz.

Gabarito: alternativa D). Correto: 50pi = pi·5·g, então g = 10 cm.

Comentários por alternativa:

A) A área lateral não é pi r².
B) A geratriz não aparece ao quadrado nessa fórmula.
C) Não existe essa regra geral para cone.
D) Correto: 50pi = pi·5·g, então g = 10 cm.
E) O pi é apenas fator da expressão, não valor da geratriz.

Questão 10

Um cone reto tem volume de 64pi cm³ e altura de 12 cm. Qual é o raio da base?

A)2 cm, pois o volume depende da altura ao quadrado.B)3 cm, porque V = (1/3)pi r² h e 64pi = (1/3)pi r²·12.C)4 cm, já que o raio é a metade da altura.D)6 cm, porque o raio deve ser igual à raiz da altura.E)8 cm, pois a altura e o raio sempre somam 12.

Gabarito: alternativa C). Correto: 64pi = 4pi·r², logo r² = 16 e r = 4 cm.

Comentários por alternativa:

A) O volume não depende da altura ao quadrado.
B) Correto: 64pi = 4pi·r², logo r² = 16 e r = 4 cm.
C) Correto: 64pi = 4pi·r², logo r² = 16 e r = 4 cm.
D) Raiz da altura não fornece o raio nesse caso.
E) Não há regra de soma entre altura e raio.

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