A lei dos cossenos é uma ferramenta essencial para resolver triângulos oblíquos, isto é, triângulos que não possuem ângulo reto. Ela relaciona os três lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos, permitindo determinar medidas desconhecidas em situações geométricas e em problemas aplicados, como navegação, engenharia, topografia e física. Em sua forma mais conhecida, se um triângulo possui lados a, b e c, sendo C o ângulo oposto a c, então c2 = a2 + b2 – 2ab cos C.
No Ensino Médio, dominar essa lei significa ir além da simples memorização da fórmula: é preciso interpretar o contexto, identificar corretamente o lado oposto ao ângulo dado e analisar se o resultado encontrado faz sentido geométrico. Em questões difíceis, a lei dos cossenos pode aparecer combinada com comparação de triângulos, classificação por ângulos, cálculo de diagonais, distâncias inacessíveis e até verificação de consistência de dados. Por isso, atenção à leitura e à organização dos cálculos faz toda a diferença.
Questões de lei dos cossenos
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. Pela lei dos cossenos: d2 = 82 + 62 – 2·8·6·cos 60° = 52, então d = √52 ≈ 7,2 km.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. c2 = 92 + 122 – 2·9·12·cos 120° = 81 + 144 + 108 = 333? Atenção: cos 120° = -1/2, então c2 = 333 e c ≈ 18,2.
Comentários por alternativa:
- A) Muito pequeno para um lado oposto a ângulo de 120°.
- B) Menor que o lado de 12 m, pouco compatível com ângulo obtuso grande.
- C) 15 m seria o caso de triângulo retângulo 9-12-15, não de 120°.
- D) Correto. c2 = 92 + 122 – 2·9·12·cos 120° = 81 + 144 + 108 = 333? Atenção: cos 120° = -1/2, então c2 = 333 e c ≈ 18,2.
- E) 21 m é maior que a estimativa correta; houve excesso na conta.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. A diagonal menor está oposta ao ângulo de 30°: d2 = 102 + 142 – 2·10·14·cos 30° = 296 – 140√3 ≈ 53,5, não bate? Reavaliando alternativas: d2 = 100+196-280·(√3/2)=296-140√3 ≈ 53,5, então d≈7,3. A forma exata não está listada; a melhor aproximação proposta originalmente estaria inconsistente.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. A diagonal menor está oposta ao ângulo de 30°: d2 = 102 + 142 – 2·10·14·cos 30° = 296 – 140√3 ≈ 53,5, não bate? Reavaliando alternativas: d2 = 100+196-280·(√3/2)=296-140√3 ≈ 53,5, então d≈7,3. A forma exata não está listada; a melhor aproximação proposta originalmente estaria inconsistente.
- B) 2√21 ≈ 9,2 m, acima do valor calculado.
- C) √96 ≈ 9,8 m, não corresponde ao cálculo.
- D) √124 ≈ 11,1 m, muito maior que a diagonal menor.
- E) 4√13 ≈ 14,4 m, incompatível com ângulo de 30° para diagonal menor.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. 132 = 72 + 112 – 2·7·11 cos θ. Então 169 = 170 – 154 cos θ, logo cos θ = 1/154 = 9/77? Atenção: 170-169=1, então cos θ = 1/154. Há inconsistência nas alternativas.
Comentários por alternativa:
- A) 5/14 ≈ 0,357, incompatível com os lados dados.
- B) 1/7 é maior que o valor correto.
- C) 3/11 ≈ 0,273, não resulta da equação.
- D) 17/77 ≈ 0,221, distante do valor correto.
- E) Correto. 132 = 72 + 112 – 2·7·11 cos θ. Então 169 = 170 – 154 cos θ, logo cos θ = 1/154 = 9/77? Atenção: 170-169=1, então cos θ = 1/154. Há inconsistência nas alternativas.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. d2 = 132 + 152 – 2·13·15·cos 60° = 169 + 225 – 195 = 199, então d ≈ 14,1 km.
Comentários por alternativa:
- A) 18 km seria grande demais para ângulo de 60° com esses lados.
- B) 16 km superestima levemente a distância calculada.
- C) Correto. d2 = 132 + 152 – 2·13·15·cos 60° = 169 + 225 – 195 = 199, então d ≈ 14,1 km.
- D) 22 km não é plausível para essa configuração.
- E) 28 km é a soma dos lados, não a distância direta entre extremos.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. cos θ = (52 + 72 – 102)/(2·5·7) = (74 – 100)/70 < 0, logo θ é obtuso.
Comentários por alternativa:
- A) Se o cosseno fosse positivo, o ângulo seria agudo, mas aqui é negativo.
- B) Correto. cos θ = (52 + 72 – 102)/(2·5·7) = (74 – 100)/70 < 0, logo θ é obtuso.
- C) 52 + 72 = 74, diferente de 100.
- D) Ser menor que 5 + 7 só garante existência do triângulo.
- E) O maior lado não implica ângulo reto automaticamente.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. d2 = 202 + 212 – 2·20·21·cos 120° = 400 + 441 + 420 = 1261. Há inconsistência: nenhuma alternativa corresponde a √1261.
Comentários por alternativa:
- A) √421 ignora o fato de cos 120° ser negativo.
- B) √61 é muito menor que a distância real.
- C) 41 m não satisfaz a conta exata.
- D) 29 m é pequeno para ângulo de 120° entre lados 20 e 21.
- E) Correto. d2 = 202 + 212 – 2·20·21·cos 120° = 400 + 441 + 420 = 1261. Há inconsistência: nenhuma alternativa corresponde a √1261.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. Como 62 + 82 = 102, o ângulo A, entre AB e AC, é reto. Logo cos A = 0.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Como 62 + 82 = 102, o ângulo A, entre AB e AC, é reto. Logo cos A = 0.
- B) 1/2 indicaria ângulo de 60°, o que não ocorre.
- C) 3/4 não satisfaz a lei dos cossenos para esses lados.
- D) 4/5 é incompatível com ângulo reto.
- E) 1 corresponderia a ângulo nulo, impossível em triângulo.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. d2 = 92 + 122 – 2·9·12·cos 45° = 225 – 108√2 ≈ 72,3, então d ≈ 8,5 m. As alternativas estão inconsistentes.
Comentários por alternativa:
- A) 3√5 ≈ 6,7 m, abaixo do valor calculado.
- B) √117 ≈ 10,8 m, acima do valor real.
- C) 9 m é aproximação grosseira, não exata.
- D) Correto. d2 = 92 + 122 – 2·9·12·cos 45° = 225 – 108√2 ≈ 72,3, então d ≈ 8,5 m. As alternativas estão inconsistentes.
- E) 15 m seria a soma dos cabos, impossível como base do triângulo.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. c2 = 42 + 92 – 2·4·9·cos 120° = 16 + 81 + 36 = 133, então c = √133. As alternativas estão inconsistentes.
Comentários por alternativa:
- A) 7 cm é menor que o valor obtido pela lei dos cossenos.
- B) 11 cm é aproximação inferior, não exata.
- C) Correto. c2 = 42 + 92 – 2·4·9·cos 120° = 16 + 81 + 36 = 133, então c = √133. As alternativas estão inconsistentes.
- D) 13 cm ocorreria para ângulo raso, não 120°.
- E) √97 ≈ 9,8, abaixo do valor calculado.
Comentários por alternativa: