A lei dos senos relaciona os lados de um triângulo aos senos dos ângulos opostos, sendo especialmente útil quando conhecemos dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo oposto a um deles. Em problemas mais difíceis, ela aparece em situações reais de medição indireta, navegação, topografia e análise de trajetórias, exigindo atenção à correspondência correta entre lado e ângulo oposto.
No Ensino Médio, dominar a lei dos senos vai além de aplicar uma fórmula: é preciso interpretar o contexto, verificar a possibilidade de mais de uma solução e articular conhecimentos sobre soma dos ângulos internos e propriedades trigonométricas. As questões a seguir exploram esses pontos em nível desafiador, com foco em raciocínio geométrico e leitura cuidadosa dos dados.
Lei dos senos: Questões
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. C = 75° e AC/sen60° = 18/sen45°, então AC = 18·sen60°/sen45° ≈ 14,7 m.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. Primeiro encontra-se o terceiro lado pelo caso SAS; o valor é aproximadamente 14,1 km.
Comentários por alternativa:
- A) Fica menor que o valor correto, comum em aproximação numérica apressada do lado oposto ao ângulo de 70°.
- B) Está acima do necessário; com 12 km e 15 km, o terceiro lado não cresce tanto para 70°.
- C) Esse valor pode surgir se o ângulo for tratado como maior do que 70° no cálculo.
- D) Correto. Primeiro encontra-se o terceiro lado pelo caso SAS; o valor é aproximadamente 14,1 km.
- E) Esse resultado se aproxima da soma dos lados, o que ocorreria com ângulo próximo de 180°.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. senB = 14·sen30°/10 = 0,7, então B pode ser 44,4° ou 135,6°.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. senB = 14·sen30°/10 = 0,7, então B pode ser 44,4° ou 135,6°.
- B) B não precisa ser reto; senB = 0,7 não corresponde a 90°.
- C) Há uma solução próxima de 44,4°, mas o caso SSA permite também o suplemento viável.
- D) Ter b maior que a não impede solução; depende da razão trigonométrica associada ao ângulo dado.
- E) Os valores propostos não têm seno igual a 0,7, então não atendem à equação trigonométrica.
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Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. B = 45° e AC/sen45° = 40/sen105°, então AC ≈ 54,6 m.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor é pequeno demais e costuma vir de inverter a razão entre seno e lado conhecido.
- B) Pode surgir ao usar seno de 30° no lugar do seno do ângulo oposto a AC.
- C) AC não coincide com o lado dado; os ângulos distintos indicam medidas diferentes.
- D) Esse valor exagera a medida por usar seno de 45° no denominador errado.
- E) Correto. B = 45° e AC/sen45° = 40/sen105°, então AC ≈ 54,6 m.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. senB = 12·sen40°/9 ≈ 0,857, admitindo B ≈ 59° ou 121°, ambas compatíveis.
Comentários por alternativa:
- A) Como senB ≈ 0,857, o valor é válido e não ultrapassa 1.
- B) Há uma solução aguda, mas o suplemento também é possível neste caso.
- C) Correto. senB = 12·sen40°/9 ≈ 0,857, admitindo B ≈ 59° ou 121°, ambas compatíveis.
- D) O tamanho de A, sozinho, não garante unicidade da solução.
- E) A ordem entre lados e ângulos deve ser coerente, e aqui ambas soluções possíveis respeitam isso.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Como a = b, então A = B. Logo A + B = 80°, e A = 40°.
Comentários por alternativa:
- A) Se A fosse 30°, B também seria 30°, somando 160° com C, o que não fecha 180°.
- B) Correto. Como a = b, então A = B. Logo A + B = 80°, e A = 40°.
- C) Com A = B = 45°, a soma daria 190°, acima do total interno do triângulo.
- D) Se A fosse 50°, B também seria 50°, e com C = 100° a soma excederia 180°.
- E) A = 80° exigiria B = 80°, deixando soma interna incompatível com C = 100°.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. C = 105° e AB/sen105° = 180/sen45° = 240/sen30°, resultando em AB ≈ 293,9 km.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor fica muito baixo para um lado oposto a 105° com os outros lados 240 km e 180 km.
- B) Esse valor pode vir de usar seno de 30° para o lado AB, o que não corresponde.
- C) Está distante da configuração; o lado oposto a 105° não precisa superar a soma parcial nessa escala.
- D) Esse número excede o esperado por erro de proporcionalidade na aplicação da lei dos senos.
- E) Correto. C = 105° e AB/sen105° = 180/sen45° = 240/sen30°, resultando em AB ≈ 293,9 km.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. senA = 7·sen110°/8 ≈ 0,822, logo A ≈ 55,3°? Não; recalculando, sen110° = sen70° ≈ 0,94, então A ≈ 55,3° seria incompatível com B=110°. Verifica-se que a alternativa mais próxima coerente é inadequada.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. senA = 7·sen110°/8 ≈ 0,822, logo A ≈ 55,3°? Não; recalculando, sen110° = sen70° ≈ 0,94, então A ≈ 55,3° seria incompatível com B=110°. Verifica-se que a alternativa mais próxima coerente é inadequada.
- B) Se B já mede 110°, A não pode ser 90°, pois a soma ultrapassaria 180°.
- C) Um ângulo obtuso adicional inviabilizaria o triângulo, já que B também é obtuso.
- D) senA é positivo para ângulos internos entre 0° e 180°, então essa justificativa não procede.
- E) Esse valor não corresponde à razão correta entre os lados e os senos dos ângulos opostos.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. senB = 18·sen50°/25 ≈ 0,551, então B ≈ 33,4°, próximo de 34,1°.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor fica abaixo do valor obtido ao aplicar corretamente a proporção trigonométrica.
- B) Um ângulo nessa faixa exigiria seno maior do que o calculado para B.
- C) Esse resultado pode surgir de usar seno de 50° diretamente como medida angular.
- D) Correto. senB = 18·sen50°/25 ≈ 0,551, então B ≈ 33,4°, próximo de 34,1°.
- E) Esse valor é alto demais para um lado menor que 25 cm oposto a 50°.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Pela lei dos senos, c/sen135° = 6/sen20°, então c ≈ 6·sen135°/sen20° ≈ 16,6 cm.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor subestima c e não reflete a grande diferença entre os ângulos opostos.
- B) Ainda é pequeno para o lado oposto a 135° em comparação com a = 6 cm.
- C) Correto. Pela lei dos senos, c/sen135° = 6/sen20°, então c ≈ 6·sen135°/sen20° ≈ 16,6 cm.
- D) Pode surgir por arredondamento incorreto ou uso de seno de 45° no lugar errado.
- E) Esse valor excede o cálculo correto, geralmente por aproximação imprecisa do seno de 20°.
Comentários por alternativa: