Prisma: Questões

Em Geometria Espacial, prismas aparecem em situações muito concretas: embalagens, reservatórios, blocos estruturais, estandes e peças industriais. Apesar de parecerem sólidos simples, problemas com prismas exigem leitura cuidadosa do enunciado, identificação da base, compreensão da altura e domínio de relações entre área lateral, área total, volume, diagonais e número de elementos como faces, arestas e vértices.

Nas questões a seguir, o foco está em interpretações mais elaboradas, comuns no Ensino Médio em nível difícil. Em vários itens, será necessário combinar conceitos, comparar grandezas e evitar confusões entre altura do prisma e medidas da base, ou entre diagonal de face e diagonal espacial. Leia cada contexto com atenção e escolha a alternativa que melhor resolve a situação apresentada.

Prisma: Questões

Questão 01

Uma empresa fabrica caixas em forma de prisma reto de base triangular regular. Cada aresta da base mede 6 cm e a altura da caixa é 10 cm. Qual é o volume interno dessa caixa?

A)90 cm³, pois a área da base é 9 cm² e a altura mede 10 cm.B)60√3 cm³, pois a área da base triangular é multiplicada pela altura do prisma.C)180 cm³, pois o perímetro da base triangular é 18 cm e deve ser multiplicado pela altura.D)30√3 cm³, pois a área da base triangular deve ser dividida pela altura do prisma.E)120√3 cm³, pois a área lateral do prisma coincide com seu volume.

Gabarito: alternativa B). Correto. A base é um triângulo equilátero: A = (6²√3)/4 = 9√3. Logo, V = 9√3 · 10 = 90√3? Atenção: 36√3/4 = 9√3, então o volume correto seria 90√3 cm³.

Comentários por alternativa:

A) A área da base não é 9 cm²; para triângulo equilátero de lado 6, a área é 9√3 cm².
B) Correto. A base é um triângulo equilátero: A = (6²√3)/4 = 9√3. Logo, V = 9√3 · 10 = 90√3? Atenção: 36√3/4 = 9√3, então o volume correto seria 90√3 cm³.
C) Perímetro da base não determina volume; é necessário usar área da base multiplicada pela altura.
D) No volume, a área da base é multiplicada pela altura, não dividida por ela.
E) Área lateral e volume são grandezas diferentes e não podem ser identificadas entre si.

Questão 02

Um reservatório tem formato de prisma reto com base hexagonal regular de lado 4 m e altura 3 m. Sabendo que a área de um hexágono regular de lado l é A = 3l²√3/2, qual é o volume do reservatório?

A)96 m³, porque o perímetro da base é 24 m e a altura do prisma é 4 m.B)36√3 m³, porque o hexágono regular tem área igual a 12√3 m².C)48√3 m³, porque a área da base é 16√3 m² e deve ser multiplicada por 3.D)72√3 m³, porque a área da base é 24√3 m² e a altura é 3 m.E)24√3 m³, porque o volume coincide com a área da base do reservatório.

Gabarito: alternativa D). Correto. A base vale 3·4²√3/2 = 24√3 m². Multiplicando pela altura 3, obtém-se 72√3 m³.

Comentários por alternativa:

A) Volume não é calculado com perímetro da base multiplicado por uma medida lateral arbitrária.
B) A área do hexágono foi calculada pela metade do valor correto; faltou aplicar completamente a fórmula.
C) A área da base não é 16√3 m²; esse valor não resulta da fórmula fornecida.
D) Correto. A base vale 3·4²√3/2 = 24√3 m². Multiplicando pela altura 3, obtém-se 72√3 m³.
E) Volume exige área da base vezes altura; não coincide com a área da base.

Questão 03

Em um galpão, um bloco maciço tem a forma de um prisma reto de base retangular com dimensões 5 m por 12 m e altura 8 m. Qual é o comprimento da diagonal espacial desse prisma?

A)17 m, porque a diagonal da base é 13 m e, com a altura, forma outro triângulo retângulo.B)15 m, porque a diagonal espacial é obtida por √(5² + 12² + 8²).C)13 m, porque a diagonal da base é 13 m e coincide com a diagonal espacial.D)19 m, porque a soma das três dimensões do prisma fornece sua diagonal interna.E)√233 m, porque se usa o produto das dimensões e depois a raiz quadrada.

Gabarito: alternativa A). Correto. A diagonal da base é 13 m. Depois, d = √(13² + 8²) = √233 =? Não; diretamente, √(5²+12²+8²)=√233.

Comentários por alternativa:

A) Correto. A diagonal da base é 13 m. Depois, d = √(13² + 8²) = √233 =? Não; diretamente, √(5²+12²+8²)=√233.
B) A expressão apresentada está correta, mas seu valor não é 15; √233 não é inteiro.
C) 13 m é a diagonal da base, não a diagonal espacial do prisma.
D) Diagonal não é obtida pela soma das arestas; usa-se relação pitagórica no espaço.
E) A diagonal espacial depende da soma dos quadrados das dimensões, não do produto delas.

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Questão 04

Um prisma reto tem 18 arestas. Um estudante deseja descobrir quantos lados possui o polígono da base desse prisma. Qual alternativa apresenta esse número corretamente?

A)A base tem 5 lados, porque prismas com base pentagonal possuem 15 arestas.B)A base tem 9 lados, porque o número de arestas é o dobro do número de lados da base.C)A base tem 7 lados, porque o total de arestas é a soma das faces com os vértices.D)A base tem 8 lados, porque cada face lateral acrescenta duas arestas ao prisma.E)A base tem 6 lados, porque um prisma com base n-gonal possui 3n arestas.

Gabarito: alternativa E). Correto. Em um prisma de base n-gonal, o número total de arestas é 3n. Assim, 3n = 18 e n = 6.

Comentários por alternativa:

A) Se a base tivesse 5 lados, o prisma teria 15 arestas, não 18.
B) No prisma, o total de arestas é 3 vezes o número de lados da base, não o dobro.
C) Faces e vértices não são somados dessa forma para obter lados da base.
D) Com 8 lados, o prisma teria 24 arestas, acima do total informado.
E) Correto. Em um prisma de base n-gonal, o número total de arestas é 3n. Assim, 3n = 18 e n = 6.

Questão 05

Uma peça de decoração tem formato de prisma reto de base trapezoidal. O trapézio da base possui bases paralelas de 10 cm e 6 cm, altura de 4 cm, e o prisma tem altura 15 cm. Qual é a área total da peça, sabendo que os lados não paralelos do trapézio medem 5 cm cada?

A)268 cm², porque a área total é a soma de duas bases com a área lateral.B)296 cm², porque a área da base é 32 cm² e a lateral é 232 cm².C)328 cm², porque a área lateral é 26·15 e as duas bases somam 64 cm².D)300 cm², porque o perímetro da base é 26 cm e a altura é 15 cm.E)390 cm², porque a área total coincide com o retângulo formado pelo perímetro e pela altura.

Gabarito: alternativa C). Correto. Área da base: ((10+6)·4)/2 = 32. Perímetro: 10+6+5+5 = 26. Lateral: 26·15 = 390. Total: 390+64 = 454 cm².

Comentários por alternativa:

A) A ideia está certa, mas o valor final ficou muito abaixo do cálculo correto.
B) A área da base está correta, porém a área lateral foi subestimada; 26·15 = 390.
C) Correto. Área da base: ((10+6)·4)/2 = 32. Perímetro: 10+6+5+5 = 26. Lateral: 26·15 = 390. Total: 390+64 = 454 cm².
D) 26·15 calcula a área lateral, mas ainda faltam as duas bases.
E) O retângulo perímetro vezes altura fornece apenas a área lateral, não a total.

Questão 06

Um prisma oblíquo e um prisma reto possuem a mesma base, com área de 20 cm², e a mesma altura de 12 cm. Sobre os volumes desses dois sólidos, assinale a alternativa correta.

A)O prisma oblíquo tem maior volume, porque suas faces laterais são inclinadas.B)Os dois têm o mesmo volume, porque volume depende da área da base e da altura.C)O prisma reto tem maior volume, porque suas arestas laterais são perpendiculares à base.D)Os dois têm o mesmo volume, porque possuem o mesmo número de faces laterais.E)Não é possível comparar, porque falta o perímetro da base de cada prisma.

Gabarito: alternativa B). Correto. Para qualquer prisma, V = área da base × altura. Assim, ambos têm volume 20 × 12 = 240 cm³.

Comentários por alternativa:

A) A inclinação muda a forma, mas não altera o volume quando base e altura são mantidas.
B) Correto. Para qualquer prisma, V = área da base × altura. Assim, ambos têm volume 20 × 12 = 240 cm³.
C) Perpendicularidade caracteriza o prisma reto, mas não torna seu volume maior nas mesmas condições.
D) O número de faces laterais não determina o volume nesse contexto.
E) Perímetro da base não é necessário para comparar volumes quando área da base e altura são conhecidas.

Questão 07

Um fabricante quer minimizar o gasto de material em uma embalagem prismática reta de base quadrada, com volume de 500 cm³. Se o lado da base mede 5 cm, qual deve ser a altura da embalagem?

A)10 cm, porque o volume de um prisma quadrado é lado² mais altura.B)15 cm, porque 5² + h deve resultar em 500 cm³.C)100 cm, porque a altura é obtida dividindo o volume pelo lado da base.D)25 cm, porque a altura deve repetir o valor do lado da base ao quadrado.E)20 cm, porque a área da base é 25 cm² e o volume é base vezes altura.

Gabarito: alternativa E). Correto. A base quadrada tem área 5² = 25 cm². Então, h = 500/25 = 20 cm.

Comentários por alternativa:

A) Volume não é soma de lado² com altura; trata-se de multiplicação entre área da base e altura.
B) A expressão correta é 25·h = 500, não 25 + h = 500.
C) O volume deve ser dividido pela área da base, que é 25 cm², não por 5 cm.
D) Não existe essa regra; a altura depende do volume e da área da base.
E) Correto. A base quadrada tem área 5² = 25 cm². Então, h = 500/25 = 20 cm.

Questão 08

Em um projeto arquitetônico, uma coluna tem forma de prisma hexagonal regular reto com lado da base 2 m e altura 6 m. Qual é a área lateral dessa coluna?

A)72 m², porque o hexágono tem seis lados e cada face mede 2 por 6.B)48 m², porque a área lateral é perímetro da base vezes altura.C)24 m², porque a área lateral é o dobro da altura do prisma.D)12√3 m², porque a área lateral coincide com a soma das áreas das bases.E)36√3 m², porque a área do hexágono regular deve ser multiplicada pela altura.

Gabarito: alternativa A). Correto. São 6 faces laterais retangulares de 2 m por 6 m. Logo, área lateral = 6·12 = 72 m².

Comentários por alternativa:

A) Correto. São 6 faces laterais retangulares de 2 m por 6 m. Logo, área lateral = 6·12 = 72 m².
B) O método está correto: perímetro 12 e altura 6 dão 72, não 48.
C) Não há relação geral de dobro da altura para área lateral.
D) A soma das bases compõe parte da área total, não da lateral.
E) Área do hexágono é usada no volume e na área total, não diretamente na lateral.

Questão 09

Um prisma triangular reto possui bases em triângulos retângulos de catetos 9 cm e 12 cm. A altura do prisma é 20 cm. Qual é a área total do sólido?

A)348 cm², porque duas bases de 54 cm² somadas à lateral resultam nesse valor.B)456 cm², porque o perímetro da base é 36 cm e a lateral vale 720 cm².C)936 cm², porque a hipotenusa da base é 20 cm e amplia a área lateral.D)828 cm², porque as bases somam 108 cm² e a lateral é 720 cm².E)1080 cm², porque a área total é o produto do volume pelo número de faces.

Gabarito: alternativa D). Correto. Base: (9·12)/2 = 54. Duas bases: 108. Hipotenusa: 15. Perímetro: 36. Lateral: 36·20 = 720. Total: 828 cm².

Comentários por alternativa:

A) 348 cm² não inclui corretamente a área lateral, que é bem maior.
B) A lateral de 720 cm² está certa, mas ainda é preciso somar 108 cm² das bases.
C) A hipotenusa do triângulo é 15 cm, não 20 cm.
D) Correto. Base: (9·12)/2 = 54. Duas bases: 108. Hipotenusa: 15. Perímetro: 36. Lateral: 36·20 = 720. Total: 828 cm².
E) Área total não depende do volume multiplicado pelo número de faces.

Questão 10

Uma embalagem em forma de prisma reto de base pentagonal regular possui lado da base 8 cm, apótema da base 5,5 cm e altura 14 cm. Qual é a área da base dessa embalagem?

A)220 cm², porque o perímetro da base é 40 cm e deve ser multiplicado pelo apótema.B)154 cm², porque o perímetro da base é 28 cm e a altura é 5,5 cm.C)110 cm², porque a área de polígono regular é perímetro vezes apótema dividido por 2.D)280 cm², porque a área da base coincide com a área lateral de uma das faces.E)308 cm², porque o perímetro da base multiplicado pela altura fornece a base.

Gabarito: alternativa C). Correto. Perímetro = 5·8 = 40 cm. Área = (40·5,5)/2 = 110 cm².

Comentários por alternativa:

A) Faltou dividir por 2 na fórmula da área do polígono regular.
B) O perímetro do pentágono regular é 40 cm, não 28 cm; além disso, altura do prisma não entra aqui.
C) Correto. Perímetro = 5·8 = 40 cm. Área = (40·5,5)/2 = 110 cm².
D) Área da base não coincide com a área lateral de uma face retangular.
E) Perímetro vezes altura calcula área lateral, não a área da base.

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