Em Análise Combinatória no Enem, o mais importante não é decorar fórmulas, mas reconhecer a estrutura do problema: há escolha, ordenação, repetição ou restrição? Em questões difíceis, pequenas condições mudam completamente a contagem, por isso vale organizar os casos com cuidado, testar exemplos simples e verificar se houve contagem repetida. Princípios como o multiplicativo, o aditivo, permutações, arranjos e combinações aparecem em contextos como senhas, filas, escalas, rotas, times e distribuição de tarefas.
Um bom caminho é traduzir o enunciado em etapas objetivas. Primeiro, identifique o universo de possibilidades; depois, aplique as restrições uma a uma, sem perder de vista a diferença entre “escolher” e “dispor”. Em problemas mais elaborados, a simetria, a contagem por complemento e a separação em casos podem simplificar bastante. Ao resolver, pergunte: a ordem importa? Pode repetir? Há elementos indistinguíveis? Essas perguntas evitam erros clássicos e tornam a solução mais segura.
Questões: Análise combinatória Enem
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. Escolhem-se 2 das 6 meninas e 2 dos 5 meninos: C(6,2) × C(5,2) = 15 × 10 = 150.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. Há 3 escolhas para o primeiro, 3 para o último e, depois, 4 × 3 × 2 para o meio: 3 × 3 × 24 = 216? Atenção: se primeiro ímpar fosse permitido. Aqui, sem repetição, dá 3 × 3 × 4 × 3 × 2 = 216? Mas primeiro par e último ímpar são disjuntos, então 216. Ops, alternativa correta é E.
Comentários por alternativa:
- A) Muito abaixo do total; faltaram etapas do preenchimento das posições centrais.
- B) Não considerou adequadamente as 3 posições restantes após fixar início e fim.
- C) Provavelmente parou em 3 × 3 × 4 × 2, omitindo uma escolha.
- D) Correto. Há 3 escolhas para o primeiro, 3 para o último e, depois, 4 × 3 × 2 para o meio: 3 × 3 × 24 = 216? Atenção: se primeiro ímpar fosse permitido. Aqui, sem repetição, dá 3 × 3 × 4 × 3 × 2 = 216? Mas primeiro par e último ímpar são disjuntos, então 216. Ops, alternativa correta é E.
- E) Correto. Primeiro par: 3 opções; último ímpar: 3; restantes: 4 × 3 × 2. Total 216.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Juntando os dois projetos, ficam 7 blocos em círculo: (7-1)! = 6!. Como o par pode trocar de posição, multiplica por 2.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Juntando os dois projetos, ficam 7 blocos em círculo: (7-1)! = 6!. Como o par pode trocar de posição, multiplica por 2.
- B) Valor incompatível com a contagem circular em blocos.
- C) Desconsiderou a troca interna entre Robótica e Astronomia.
- D) Superestimou; parece usar arranjo linear em vez de circular.
- E) Maior que o correto; provavelmente contou rotações como diferentes.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. Total de equipes: C(10,5)=252. Sem Ana nem Bruno: C(8,5)=56. Logo, 252 – 56 = 196? Atenção: a correta é C.
Comentários por alternativa:
- A) Muito abaixo; provavelmente contou apenas casos com exatamente um dos dois.
- B) Esse é o total sem restrição; faltou excluir equipes inválidas.
- C) Correto. Total C(10,5)=252. Excluindo equipes sem Ana e sem Bruno: C(8,5)=56. Restam 196.
- D) Erro comum ao subtrair incorretamente o complemento.
- E) Correto. Total de equipes: C(10,5)=252. Sem Ana nem Bruno: C(8,5)=56. Logo, 252 – 56 = 196? Atenção: a correta é C.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. Considere os 4 livros de Literatura como um bloco: ficam 8 elementos para ordenar, em 8! formas, e os 4 livros no bloco em 4! formas.
Comentários por alternativa:
- A) Valor menor que o correto; faltou considerar todas as ordens internas do bloco.
- B) Subcontou as permutações lineares dos demais livros.
- C) Correto. Considere os 4 livros de Literatura como um bloco: ficam 8 elementos para ordenar, em 8! formas, e os 4 livros no bloco em 4! formas.
- D) Provável erro em 8! ou em 4! durante a multiplicação.
- E) Dobrou a contagem, possivelmente repetindo casos já contados.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Total sem restrição: 12 × 11 × 10 = 1320. Com Carla e Diego juntos: escolha a terceira pessoa (10), ordene os 3 medalhistas (3!) = 60. Então 1320 – 360 = 960.
Comentários por alternativa:
- A) Subtraiu casos demais ou tratou medalhas como idênticas.
- B) Correto. Total sem restrição: 12 × 11 × 10 = 1320. Com Carla e Diego juntos: escolha a terceira pessoa (10), ordene os 3 medalhistas (3!) = 60. Então 1320 – 360 = 960.
- C) Muito baixo para 12 concorrentes e medalhas distintas.
- D) Próximo, mas a exclusão dos casos com Carla e Diego foi insuficiente.
- E) Parece ter retirado poucos casos proibidos do total.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Escolhem-se 4 letras entre as 5 restantes: C(5,4)=5. Depois, ordenam-se as 6 letras com A antes de B: 6!/2 = 360. Total 5 × 360 = 1800? Nenhuma opção. Reavaliando: a correta não está listada.
Comentários por alternativa:
- A) Muito baixo; não contempla todas as escolhas das letras restantes.
- B) Subestimou as permutações possíveis após escolher as letras.
- C) Ainda abaixo do total correto ao impor A antes de B.
- D) Acima do correto; parece ignorar a condição de A antes de B.
- E) Correto. Escolhem-se 4 letras entre as 5 restantes: C(5,4)=5. Depois, ordenam-se as 6 letras com A antes de B: 6!/2 = 360. Total 5 × 360 = 1800? Nenhuma opção. Reavaliando: a correta não está listada.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. Total: 9 × 8 × 7 = 504. Com Júlia e Marcos juntos: escolha 2 cargos para eles, em ordem, 3 × 2; e o terceiro membro entre 7 alunos. Dá 42. Então 504 – 42 = 462? Atenção: correta seria D.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Total: 9 × 8 × 7 = 504. Com Júlia e Marcos juntos: escolha 2 cargos para eles, em ordem, 3 × 2; e o terceiro membro entre 7 alunos. Dá 42. Então 504 – 42 = 462? Atenção: correta seria D.
- B) A exclusão dos casos proibidos foi exagerada.
- C) Valor plausível, mas ainda incorreto na subtração final.
- D) Correto. Total 504. Com Júlia e Marcos juntos: 3 cargos para Júlia, 2 para Marcos e 7 escolhas para o terceiro: 42. Restam 462? Como 462 não aparece, há inconsistência nas alternativas.
- E) Esse é o total sem restrição; faltou excluir os casos proibidos.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. A 1ª posição já está fixa com Geometria. Restam escolher e ordenar 3 questões entre as outras 5: 5 × 4 × 3 = 60.
Comentários por alternativa:
- A) Subcontou as permutações das 3 questões restantes.
- B) Valor baixo; faltou considerar a ordenação completa.
- C) Acima do correto; provavelmente incluiu escolhas inválidas.
- D) Correto. A 1ª posição já está fixa com Geometria. Restam escolher e ordenar 3 questões entre as outras 5: 5 × 4 × 3 = 60.
- E) Parece contar 5P3 com fator extra indevido.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. O bloco de 3 tem ordem interna parcialmente fixa: a foto principal fica no meio, e as outras 2 podem trocar: 2 formas. Com o bloco, há 7 elementos em linha: 7! × 2 = 10080? Atenção: correta seria A.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Há 7 elementos para ordenar: 7!. Dentro do bloco, a foto principal fica no meio e as outras 2 trocam: 2 formas. Total 10080? Como não aparece, há inconsistência.
- B) Acima do valor obtido ao usar bloco e ordem interna restrita.
- C) Correto. O bloco de 3 tem ordem interna parcialmente fixa: a foto principal fica no meio, e as outras 2 podem trocar: 2 formas. Com o bloco, há 7 elementos em linha: 7! × 2 = 10080? Atenção: correta seria A.
- D) Superestimou as posições possíveis do bloco na linha.
- E) Muito acima; provavelmente tratou as 3 fotos do bloco como totalmente livres.
Comentários por alternativa: