Questões de função quadrática

O estudo das funções quadráticas é essencial para entender fenômenos do cotidiano, como a trajetória de projéteis e otimização de situações práticas. Por meio dessas funções, é possível resolver problemas variados, desde cálculos de áreas até maximização de lucros.

[quiz] 01) Em um projeto de arquitetura, um arquiteto desenhou uma parábola para a cobertura de um novo estádio. O formato da cobertura pode ser modelado pela função quadrática $y = -x^2 + 4x + 1$. Qual o valor máximo do tetos que a estrutura alcança? Assinale a alternativa que representa corretamente a altura máxima.

a) 7. b) 9. c) 6. d) 8. e) 5. Resolução Detalhada: Para determinar a altura máxima, calculamos o vértice da função quadrática usando a fórmula $x = -\frac{b}{2a}$. Aqui, $a = -1$ e $b = 4$, resultando em $x = -\frac{4}{-2} = 2$. Substituindo $x = 2$ na equação original, obtemos $y = -2^2 + 4(2) + 1 = 9$. [/quiz]

[quiz] 02) Um investidor percebe que o retorno sobre um projeto pode ser modelado pela função $R(x) = -2x^2 + 8x + 5$, onde $x$ é a quantidade de investimento. Qual o investimento que maximiza o retorno? Assinale a alternativa que indica o valor correto.

a) R$ 2. b) R$ 3. c) R$ 4. d) R$ 5. e) R$ 1. Resolução Detalhada: Para achar o valor de $x$ que maximiza o retorno, usamos $x = -\frac{b}{2a}$. Aqui, $a = -2$ e $b = 8$. Portanto, $x = -\frac{8}{2 \cdot -2} = 2$. Nesse ponto, substituímos $x$ na função para encontrar $R(2)$. [/quiz]

[quiz] 03) Uma bola é lançada verticalmente e sua altura em função do tempo é dada pela função $h(t) = -4t^2 + 16t + 5$. Em que instante a bola atinge a altura máxima? Assinale a alternativa que melhor representa esse instante.

a) 3 segundos. b) 2 segundos. c) 4 segundos. d) 1 segundo. e) 5 segundos. Resolução Detalhada: Para encontrar o instante de tempo em que a altura é máxima, vamos calcular $t = -\frac{b}{2a}$. Aqui, $a = -4$ e $b = 16$, logo $t = -\frac{16}{2 \cdot -4} = 2$ segundos. [/quiz]

[quiz] 04) Um fabricante percebe que o custo de produção em função da quantidade produzida é dada por $C(x) = 3x^2 - 18x + 24$. Qual é a quantidade que minimiza o custo de produção? Assinale a alternativa que melhor representa essa quantidade.

a) 3 unidades. b) 4 unidades. c) 5 unidades. d) 2 unidades. e) 1 unidade. Resolução Detalhada: O valor de $x$ que minimiza o custo é dado por $x = -\frac{b}{2a}$. Com $a = 3$ e $b = -18$, temos $x = -\frac{-18}{2 \cdot 3} = 3$ unidades. [/quiz]

[quiz] 05) Um empresário estudioso de mercado observa que a quantidade de um determinado produto vendida pode ser representada pela função $V(x) = -5x^2 + 40x$. Qual é a quantidade de produto que maximiza as vendas? Assinale a alternativa correta que representa essa quantidade.

a) 4 unidades. b) 5 unidades. c) 6 unidades. d) 3 unidades. e) 7 unidades. Resolução Detalhada: Para descobrir o valor de $x$ que maximiza as vendas, aplicamos $x = -\frac{b}{2a}$, onde $a = -5$ e $b = 40$. Assim, obtemos $x = -\frac{40}{2 \cdot -5} = 4$ unidades. [/quiz]

[quiz] 06) Um projetista está desenvolvendo uma rampa com formato parabolóide, que pode ser descrita pela função quadrática $R(x) = 2x^2 + 4x + 6$. Qual o valor mínimo que a estrutura alcança? Assinale a alternativa correta que representa esse valor mínimo.

a) 6. b) 8. c) 4. d) 5. e) 7. Resolução Detalhada: O mínimo valor de $R$ pode ser alcançado em $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -0,5$. O resultado será a substituição deste valor na função para determinar $R(-0,5)$. [/quiz]

[quiz] 07) Um artista está criando uma escultura que tem a forma de um arco, descrito pela função quadrática $h(x) = -x^2 + 6x + 2$. Para determinar a altura máxima do arco, qual o valor correto a ser considerado? Assinale a alternativa que melhor representa essa altura máxima.

a) 5. b) 11. c) 6. d) 8. e) 9. Resolução Detalhada: Para encontrar a altura máxima, calculamos o vértice usando $x = -\frac{b}{2a}$, neste caso, $a = -1$ e $b = 6$. Assim $x = -\frac{6}{2 \cdot -1} = 3$, e substituindo $x$ na função obtemos $h(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 + 2 = 11$. [/quiz]

[quiz] 08) Um agricultor está analisando a produtividade de suas plantações, que pode ser modelada pela função $P(x) = -x^2 + 12x + 10$. Qual a quantidade de plantações que maximiza a produtividade? Assinale a alternativa correta que representa essa quantidade.

a) 6 unidades. b) 5 unidades. c) 7 unidades. d) 4 unidades. e) 3 unidades. Resolução Detalhada: A quantidade que maximiza a produtividade pode ser encontrada em $x = -\frac{b}{2a}$, onde $a = -1$ e $b = 12$, resultando em $x = 6$. [/quiz]

[quiz] 09) Um engenheiro civil está projetando um reservatório de água que tem a forma de uma parábola, modelada pela função $D(x) = x^2 + 4x + 10$. Qual é a profundidade mínima que o reservatório pode alcançar? Assinale a alternativa que representa essa profundidade.

a) 10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6. Resolução Detalhada: Para encontrar a profundidade mínima neste caso, aplicamos $x = -\frac{b}{2a}$. Aqui $a = 1$ e $b = 4$, resultando em $x = -2$. Para obter $D(-2)$ na função, substituímos e encontramos a profundidade mínima. [/quiz]

[quiz] 10) O movimento de um objeto em queda livre pode ser representado pela função quadrática $s(t) = -5t^2 + 20t + 15$. Qual o tempo que maximiza a altura do objeto? Assinale a alternativa que melhor representa o tempo correto.

a) 2 segundos. b) 3 segundos. c) 2 segundos. d) 1 segundo. e) 4 segundos. Resolução Detalhada: Para determinar o tempo em que a altura é máxima, aplicamos $t = -\frac{b}{2a}$ com $a = -5$ e $b = 20$. Assim, $t = -\frac{20}{2 \cdot -5} = 2$ segundos. [/quiz]