Determinantes são números associados a matrizes quadradas e aparecem em situações de modelagem, geometria analítica, sistemas lineares e transformações no plano e no espaço. No Ensino Médio, eles ajudam a decidir, por exemplo, se um sistema tem solução única, se três pontos estão alinhados ou qual é o fator de ampliação de uma transformação representada por matriz.
Em questões mais difíceis, o desafio costuma estar menos na conta mecânica e mais em reconhecer propriedades úteis: fator comum em linha ou coluna, troca de linhas, proporcionalidade, expansão por cofatores e interpretação geométrica. Resolver bem exige atenção aos sinais, ao efeito de operações elementares e ao contexto apresentado no enunciado.
Questões: Determinantes
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. Em matriz 2×2, det(A) = ad – bc = 3·4 – 2·1 = 10.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. Expandindo pela 1ª linha: 2(12-2) -1(4-0) = 20 – 4 = 16? Atenção: o menor é [[3,1],[2,4]], então 2·10 – 1·4 = 20 – 4 = 16.
Comentários por alternativa:
- A) Você provavelmente ignorou um cofator ou errou o sinal na expansão.
- B) Há erro em um dos menores determinantes 2×2.
- C) Correto. det(M) = 2(3·4 – 1·2) – 1(1·4 – 1·0) = 20 – 4 = 16.
- D) Correto. Expandindo pela 1ª linha: 2(12-2) -1(4-0) = 20 – 4 = 16? Atenção: o menor é [[3,1],[2,4]], então 2·10 – 1·4 = 20 – 4 = 16.
- E) Você pode ter usado soma dos elementos, não o determinante.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Como y = 2x nos três pontos, eles são colineares e o determinante vale 0.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Como y = 2x nos três pontos, eles são colineares e o determinante vale 0.
- B) Se o determinante fosse 2, não haveria alinhamento, mas aqui os pontos seguem a mesma reta.
- C) Valor incorreto; pontos da mesma reta produzem determinante nulo.
- D) Determinante igual a 1 indicaria área não nula do triângulo formado.
- E) É possível decidir, sim; esse é um uso clássico de determinantes.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. A segunda linha é o dobro da primeira; logo, o determinante é nulo.
Comentários por alternativa:
- A) Pode ser concluído diretamente pela proporcionalidade entre linhas.
- B) Primos não determinam o valor do determinante; proporcionalidade entre linhas zera o determinante.
- C) Elementos da diagonal, sozinhos, não definem o determinante nessa matriz.
- D) Não há regra desse tipo; o ponto decisivo é a proporcionalidade das linhas.
- E) Correto. A segunda linha é o dobro da primeira; logo, o determinante é nulo.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. Trocar duas linhas muda apenas o sinal do determinante.
Comentários por alternativa:
- A) O módulo permanece, mas o sinal deve mudar após a troca de duas linhas.
- B) Troca de linhas não dobra o determinante.
- C) Correto. Trocar duas linhas muda apenas o sinal do determinante.
- D) O valor absoluto não muda com uma única troca de linhas.
- E) O determinante só zera em casos específicos, não por simples troca.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. Multiplicar uma linha por 4 multiplica o determinante por 4: 4·(-3) = -12.
Comentários por alternativa:
- A) Não há soma com 4; há multiplicação do determinante.
- B) Correto. Multiplicar uma linha por 4 multiplica o determinante por 4: 4·(-3) = -12.
- C) Esse valor não segue a propriedade de escala em uma linha.
- D) Você esqueceu o sinal negativo do determinante original.
- E) Se uma linha mudou por fator 4, o determinante também muda.
Questão 07
Gabarito: alternativa A). Correto. Em matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal principal: 2·3·(-2) = -12.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Em matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal principal: 2·3·(-2) = -12.
- B) Você pode ter somado ou ignorado um fator da diagonal.
- C) O módulo está certo, mas faltou considerar o sinal negativo.
- D) Valor incompatível com o produto 2·3·(-2).
- E) Matriz triangular só tem determinante zero se algum elemento diagonal for zero.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. det(U) = 4·2 – 1·8 = 0; sem determinante não nulo, não há garantia de solução única.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. det(U) = 4·2 – 1·8 = 0; sem determinante não nulo, não há garantia de solução única.
- B) O cálculo correto dá 8 – 8 = 0, não 8.
- C) A ordem da matriz não define o número de soluções do sistema.
- D) Determinantes 2×2 são justamente os mais diretos de analisar.
- E) Linhas diferentes ainda podem ser proporcionais, como ocorre aqui.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. Área = |det([[4,1],[2,5]])|/2 = |20-2|/2 = 18/2 = 9.
Comentários por alternativa:
- A) Você provavelmente dividiu ou subtraiu incorretamente os produtos.
- B) Faltou ajustar corretamente o valor absoluto antes de dividir por 2.
- C) Esse valor pode surgir se não dividir corretamente por 2.
- D) Correto. Área = |det([[4,1],[2,5]])|/2 = |20-2|/2 = 18/2 = 9.
- E) 14 é maior que o dobro necessário; revise o determinante 20 – 2.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante.
Comentários por alternativa:
- A) Essa operação não zera o determinante por si só.
- B) Não se soma 3 ao determinante; a propriedade preserva o valor.
- C) Correto. Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante.
- D) Multiplicação por 3 ocorreria se uma linha inteira fosse escalada.
- E) Não há fator 4 atuando sobre o determinante nessa operação.
Comentários por alternativa: