Questões: Logaritmo

A compreensão dos logaritmos é essencial em diversas áreas do conhecimento, especialmente em matemática e ciências exatas. As questões sobre logaritmos no ENEM e vestibulares muitas vezes exigem uma combinação de raciocínio algébrico e operações numéricas.

Os estudantes devem estar preparados para resolver questões que envolvem propriedades dos logaritmos e suas aplicações práticas no cotidiano. Aqui estão algumas questões desafiadoras sobre logaritmos.

Questões: Logaritmo

[quiz] 01) Um estudante está resolvendo a equação logarítmica log 2 (x) + log 2 (x - 3) = 4. Para encontrar o valor de x, ele precisa simplificar a expressão e resolver a equação. Assinale a alternativa que traz a solução correta.

a) 1. 2 (x(x - 3)) = 4, o que resulta em x = 7." name="pergunta1" type="radio"/> b) 7. c) 5. 3." name="pergunta1" type="radio"/> d) 4. e) -2. Para resolver a equação, aplicamos a propriedade do logaritmo que afirma log a (b) + log a (c) = log a (bc). Logo, a equação se torna log 2 (x(x - 3)) = 4. Transformando em forma exponencial, temos x(x - 3) = 2 4 = 16. Solucionando x² - 3x - 16 = 0, usando a fórmula quadrática obtemos x = 7 ou x = -2. Como o logaritmo deve ser maior que 0, a única solução viável é x = 7. [/quiz]

[quiz] 02) Um modelo de crescimento populacional é descrito pela função P(t) = P 0 e kt , onde P 0 é a população inicial, e k é a taxa de crescimento. Se, após 5 anos, a população foi medida e o logaritmo natural da razão da nova população em relação à inicial é 0,1, qual a taxa k? Assinale a alternativa correta.

a) 0,05. 0 )=log(e 0.1 ) = 0,1." name="pergunta2" type="radio"/> b) 0,2. c) 0,3. d) 0,4. e) 0,1. Como sabemos, se loga(b) = c, então b = a c . Aplicando a propriedade logarítmica ao modelo, log(P(t)/P 0 ) = kt em que t = 5. Assim, temos ln(P(t)/P 0 )=0,1, logo P(t)/P 0 = e 0.1 . Sabendo que P(t)/P 0 = e kt tem-se 0,1 = 5k, levando a k = 0,02. [/quiz]

[quiz] 03) Um investidor está estudando o retorno de um investimento que cresce exponencialmente. Ele Analisou que o logaritmo natural do montante final é igual à soma do logaritmo natural do investimento inicial e o logaritmo natural que representa o crescimento. Se o logaritmo natural do montante final é 3, o logaritmo do inicial é 1. Qual é o logaritmo do crescimento? Assinale a alternativa correta.

a) 2. b) 2. c) 1. d) -1. e) 3. A propriedade de logaritmos nos diz que ln(M) = ln(I) + ln(C). Assim, temos ln(M) = 3 e ln(I) = 1. Portanto, substituindo temos 3 = 1 + ln(C). Ressolvendo, obtém-se ln(C) = 3 - 1 = 2. [/quiz]

[quiz] 04) Durante uma aula, os alunos aprenderam sobre logaritmos na base 10. Um professor pediu que calculassem o logaritmo de 1000 e explicassem o raciocínio por trás da resposta. Assinale a alternativa que apresenta a explicação correta e o resultado apropriado.

10 (1000) é igual a 3 porque 10 elevado a 3 resulta em 1000." name="pergunta4" type="radio"/> a) 3, pois 10 3 = 1000. 2 produza 1000." name="pergunta4" type="radio"/> b) 2, já que 10 2 seria 100."> c) 4, porque 10 4 = 10000. 5 representaria um valor bem maior que 1000." name="pergunta4" type="radio"/> d) 5, uma vez que 10 5 é muito grande."> 6 é exorbitante comparado a 1000." name="pergunta4" type="radio"/> e) 6, pois 10 6 é 1000000. O logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Como sabemos, log 10 (1000) pergunta "Quanto deve ser elevado 10 para se obter 1000?". Sabemos que 10 elevado a 3 é igual a 1000, então log 10 (1000) = 3. [/quiz]

[quiz] 05) Um engenheiro quer calcular a potência de um motor. Sabe-se que a potência pode ser expressa como P = 4 log 10 (x), onde x representa uma variável dependente. Se a potência medida é 32, qual é o valor de x? Assinale a alternativa que apresenta a solução correta.

a) 2. 10 (x), obtemos x = 100, já que log 10 (100) = 2." name="pergunta5" type="radio"/> b) 100. c) 10. d) 8. e) 20. Primeiro, isolamos log 10 (x): 32 = 4log 10 (x) implica log 10 (x) = 32/4 = 8. Com isso temos que x = 10 8 = 100. Portanto, a resposta correta é b. [/quiz]

[quiz] 06) Um técnico está configurando um sistema de som onde a relação entre o volume e a intensidade do som está descrita pela equação V = 10 log 10 (I/I 0 ). Se a intensidade I 0 é considerada como 10 -12 W/m 2 e o volume é medido como 20 dB, que intensidade W/m 2 corresponde a essa medição? Assinale a alternativa correta.

10 (I/I 0 ), resultando na intensidade I = 10 -11 W/m 2 ." name="pergunta6" type="radio"/> a) 10 -11 W/m 2 . -10 W/m 2 não pode corresponder a 20 dB de volume, dado que a relação dos logaritmos acionaria um resultado maior." name="pergunta6" type="radio"/> b) 10 -10 W/m 2 . -9 W/m 2 superestima a realidade do relacionamento, dado que deveria ser proporcional ao 10 -12 W/m 2 ." name="pergunta6" type="radio"/> c) 10 -9 W/m 2 . -8 W/m 2 é excessiva para um nível sonoro de 20 dB, que deve ser bem menor." name="pergunta6" type="radio"/> d) 10 -8 W/m 2 . -7 W/m 2 também está fora do escopo do que o volume de 20 dB poderia representar." name="pergunta6" type="radio"/> e) 10 -7 W/m 2 . Começamos substituindo a equação do volume: 20 = 10 log 10 (I/(10 -12 )). Assim, dividimos ambos os lados por 10: 2 = log 10 (I/(10 -12 )). Reescrevendo na forma exponencial resulta em I/(10 -12 ) = 10 2 . Portanto, I = 100 * 10 -12 = 10 -10 W/m 2 . [/quiz]

[quiz] 07) Um cientista estudou a decomposição de materiais e trocou a equação logarítmica log 2 (x) - 2 = 3. Para encontrar o valor de x, ele reescreveu a equação. Assinale a alternativa que apresenta a resposta correta após o cálculo devido.

a) 6. 2 (x) = 5, obtemos x = 32, pois 2 5 = 32." name="pergunta7" type="radio"/> b) 32. c) 10. d) 20. e) 4. A transformação leva a: log 2 (x) = 5. Convertendo essa forma em exponencial, obtemos x = 2 5 = 32. [/quiz]

[quiz] 08) Um aluno se deparou com a expressão log 3 (x 2 y) - log 3 (y 2 ) = 1 e está tentando encontrar os valores para x e y. Como ele pode simplificar essa expressão? Qual o valor de x que atende a essa condição? Assinale a alternativa correta.

a) 1. 3 (x/y) = 1, o que resulta no valor de x = 3." name="pergunta8" type="radio"/> b) 3. c) 9. d) 0,5. e) 4. Primeiro, simplificamos a expressão: log 3 ((x 2 )/(y 2 )) = 1, que implica que (x/y) 2 = 3. Daí tiramos a raiz: x/y = √3, levando a x = 3. [/quiz]

[quiz] 09) Considerando a função logarítmica log a (b) = c, se a = 7 e b = 49, qual é o valor de c? Assinale a alternativa que representa o resultado correto.

7 (49) porque 7 elevado a 2 resulta em 49, então essa opção está errada." name="pergunta9" type="radio"/> a) 2. 7 (49) = 2." name="pergunta9" type="radio"/> b) 2. c) 3. d) 4. e) 1. O logaritmo na base 7 de 49 pode ser resolvido com a exponenciação. Vemos que 7 2 = 49, portanto log 7 (49) = 2. [/quiz]

[quiz] 10) Um economista analisou a função de preço em relação à quantidade, expressa pela função P(Q) = log 10 (Q), onde Q é a quantidade vendida. Se o preço para Q = 100 é medido, qual é o resultado? Assinale a alternativa que apresenta a resposta correta.

10 (100) resulta em 2 porque 10 elevado a 2 é igual a 100." name="pergunta10" type="radio"/> a) 2. b) 1. c) 3. d) 0. 2 resulta no cálculo evidente." name="pergunta10" type="radio"/> e) 10. Para resolver a função P(Q), substituímos Q = 100: temos P(100) = log 10 (100) = log 10 (10 2 ) = 2log 10 (10) = 2 * 1 = 2. [/quiz]