A lei dos cossenos é uma ferramenta essencial para resolver triângulos quaisquer, isto é, triângulos que não são necessariamente retângulos. Ela permite relacionar lados e ângulos quando conhecemos duas medidas de lados e o ângulo compreendido, ou quando conhecemos os três lados e desejamos encontrar um ângulo.
Em problemas de geometria, navegação, engenharia e física, essa lei aparece em situações práticas em que o triângulo não se encaixa nas técnicas do triângulo retângulo. A seguir, as questões exploram aplicações diretas e raciocínio analítico com foco em interpretação e cálculo.
Questões sobre lei dos cossenos
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Aplicando a lei dos cossenos, obtém-se c2 = 49 + 81 – 2·7·9·cos120°. O resultado é 169.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Com c2 = 102 + 142 – 2·10·14·cos60°, resulta c2 = 144, logo c = 12.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor não satisfaz a relação com 60°.
- B) 10 m é menor do que o cálculo indica.
- C) 14 m não corresponde ao resultado obtido.
- D) Com c2 = 102 + 142 – 2·10·14·cos60°, resulta c2 = 144, logo c = 12.
- E) 16 m excede o valor encontrado pela fórmula.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Pela lei dos cossenos, 132 = 82 + 112 – 2·8·11·cosθ. Como cosθ = 0, o ângulo é 90°.
Comentários por alternativa:
- A) Pela lei dos cossenos, 132 = 82 + 112 – 2·8·11·cosθ. Como cosθ = 0, o ângulo é 90°.
- B) 60° gera outro valor para o lado oposto.
- C) 75° ainda não satisfaz a relação numérica.
- D) 45° não torna a equação compatível com os lados dados.
- E) 105° levaria a um lado diferente de 13 cm.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Aplicando a lei dos cossenos, c2 = 152 + 202 – 2·15·20·cos150°. O valor fica próximo de 1225, então c ≈ 35 m.
Comentários por alternativa:
- A) 32 m fica abaixo do valor calculado.
- B) 34 m é próximo, mas ainda não coincide com a conta.
- C) 39 m está acima da medida encontrada.
- D) 37 m ultrapassa o resultado obtido.
- E) Aplicando a lei dos cossenos, c2 = 152 + 202 – 2·15·20·cos150°. O valor fica próximo de 1225, então c ≈ 35 m.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Como 152 = 92 + 122, então pela lei dos cossenos o cosseno do ângulo C é zero.
Comentários por alternativa:
- A) 60° não gera a soma de quadrados observada.
- B) 75° não produz 15 como lado oposto.
- C) Como 152 = 92 + 122, então pela lei dos cossenos o cosseno do ângulo C é zero.
- D) 105° tornaria o lado oposto maior.
- E) 120° é incompatível com a relação pitagórica.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Pela lei dos cossenos, d2 = 62 + 82 – 2·6·8·cos135°. O valor aproximado de d é 11,5 km.
Comentários por alternativa:
- A) 9 km é menor do que o valor calculado.
- B) Pela lei dos cossenos, d2 = 62 + 82 – 2·6·8·cos135°. O valor aproximado de d é 11,5 km.
- C) 11 km está perto, mas não é a melhor aproximação.
- D) 10 km ainda fica abaixo da aproximação obtida.
- E) 13 km supera a medida calculada.
Questão 07
Gabarito: alternativa C). Usando c2 = a2 + b2 – 2ab cosθ, com c = 12, obtém-se 144 = 25 + 169 – 130cosθ, logo cosθ = 0.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor não satisfaz a igualdade dos lados.
- B) -1/3 não zera o termo necessário na fórmula.
- C) Usando c2 = a2 + b2 – 2ab cosθ, com c = 12, obtém-se 144 = 25 + 169 – 130cosθ, logo cosθ = 0.
- D) 1/3 tornaria o lado oposto diferente de 12 cm.
- E) 1/2 também não atende à relação numérica.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Pela lei dos cossenos, d2 = 182 + 242 – 2·18·24·cos30°. O valor de d fica próximo de 16 m.
Comentários por alternativa:
- A) Pela lei dos cossenos, d2 = 182 + 242 – 2·18·24·cos30°. O valor de d fica próximo de 16 m.
- B) 12 m ainda é menor do que a distância obtida.
- C) 14 m não alcança a aproximação calculada.
- D) 10 m fica bem abaixo do cálculo correto.
- E) 18 m excede o resultado da fórmula.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Como 72 + 242 = 252, o maior ângulo é reto. A lei dos cossenos confirma cosθ = 0.
Comentários por alternativa:
- A) 60° não corresponde à relação entre os lados.
- B) 75° não satisfaz a igualdade dos quadrados.
- C) 105° tornaria o lado maior incompatível.
- D) Como 72 + 242 = 252, o maior ângulo é reto. A lei dos cossenos confirma cosθ = 0.
- E) 120° não aparece nesse caso pitagórico.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Pela lei dos cossenos, c2 = 302 + 422 – 2·30·42·cos20°. A raiz dá aproximadamente 25,7 m.
Comentários por alternativa:
- A) 14 m é muito menor do que a conta indica.
- B) 18 m ainda está abaixo da medida calculada.
- C) Pela lei dos cossenos, c2 = 302 + 422 – 2·30·42·cos20°. A raiz dá aproximadamente 25,7 m.
- D) 22 m fica aquém do resultado aproximado.
- E) 30 m já supera a aproximação obtida.
Comentários por alternativa: