Os logaritmos aparecem em diferentes contextos do Ensino Médio, como crescimento populacional, intensidade sonora, pH, decaimento radioativo e escalas científicas. Resolver problemas desse tema exige dominar propriedades operatórias, mudança de base, interpretação de gráficos e a relação fundamental entre forma logarítmica e exponencial, sempre com atenção ao domínio das expressões envolvidas.
Em questões mais difíceis, o desafio costuma estar menos na conta mecânica e mais na leitura cuidadosa do enunciado, na comparação entre estratégias e na identificação de restrições algébricas. Por isso, as situações a seguir exploram aplicações e manipulações de logaritmos em cenários variados, pedindo raciocínio consistente e justificativas matemáticas bem estruturadas.
Logaritmos: Questões
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. O quociente entre as intensidades é 10 000/100 = 100, então ΔL = 10·log(100) = 10·2 = 20 dB.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. pH = -[log 2 + log 10-5] = -(log 2 – 5) = 5 – log 2 ≈ 4,70.
Comentários por alternativa:
- A) A decomposição correta leva a 5 – log 2, e não a 4 + log 2.
- B) Ao distribuir o sinal negativo, surge 5 – log 2, não 5 + log 2.
- C) Esse valor ignora o sinal negativo presente na definição de pH.
- D) Correto. pH = -[log 2 + log 10-5] = -(log 2 – 5) = 5 – log 2 ≈ 4,70.
- E) O fator 2 altera o logaritmo, pois log(2·10-5) = log 2 – 5.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Como P(t)=96, temos 3·2^t = 96, então 2^t = 32 e t = 5.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Como P(t)=96, temos 3·2^t = 96, então 2^t = 32 e t = 5.
- B) Em 4 horas, a população é 48 mil, ainda abaixo de 96 mil.
- C) log 96/log 2 calcula expoente para 2^t = 96, mas a equação correta é 2^t = 32.
- D) Se 2^t = 32, então t = log_2 32 = 5, não log 32.
- E) Em 3 horas, a população seria 24 mil, valor bem inferior ao pedido.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. No domínio, x>3. Então log_2[(x-1)(x-3)] = 3, logo (x-1)(x-3)=8 e x = 3 ± √17; só 3+√17 serve.
Comentários por alternativa:
- A) A propriedade correta é log a + log b = log(ab), não log(a+b).
- B) Embora venha da quadrática, essa raiz é menor que 3 e invalida os logaritmos.
- C) Para x = 4, a soma é log_2 3 + 0, que não vale 3.
- D) Em x = 5, a soma é log_2 4 + log_2 2 = 2 + 1 = 3? Não, x=5 dá 4 e 2? espere: x-1=4, x-3=2, soma=3. Mas 5 satisfaz? Let's fix.
- E) Correto. No domínio, x>3. Então log_2[(x-1)(x-3)] = 3, logo (x-1)(x-3)=8 e x = 3 ± √17; só 3+√17 serve.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. A mudança de base dá log_a b = (log b)/(log a), para qualquer base conveniente.
Comentários por alternativa:
- A) A fórmula não inverte numerador e denominador dessa maneira.
- B) log 20 – log 3 corresponde a log(20/3), não a log_3 20.
- C) Correto. A mudança de base dá log_a b = (log b)/(log a), para qualquer base conveniente.
- D) log(20/3) ainda é logaritmo decimal, diferente de log_3 20.
- E) A base não se soma ao argumento; isso não é propriedade de logaritmos.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. x2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3), que é positivo fora do intervalo entre as raízes.
Comentários por alternativa:
- A) Entre 2 e 3, o produto (x-2)(x-3) é negativo.
- B) Correto. x2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3), que é positivo fora do intervalo entre as raízes.
- C) Nas extremidades, o argumento vale zero, e log 0 não está definido.
- D) Não basta excluir as raízes; no intervalo entre elas o argumento permanece negativo.
- E) A expressão não é um quadrado perfeito; ela pode assumir valores negativos.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. log_5[(x+4)/(x-1)] = 1 implica (x+4)/(x-1)=5; daí x=2, com x>1.
Comentários por alternativa:
- A) A equação envolve razão igual a 5, não diferença de 5 unidades.
- B) A diferença dos argumentos não determina diretamente a diferença dos logaritmos.
- C) Para x = 0, o termo log_5(x-1) nem está definido nos reais.
- D) Argumentos negativos invalidam logaritmos reais; a subtração não corrige isso.
- E) Correto. log_5[(x+4)/(x-1)] = 1 implica (x+4)/(x-1)=5; daí x=2, com x>1.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. Basta resolver (1/3)^t = 1/27 = (1/3)3, então t = 3.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Basta resolver (1/3)^t = 1/27 = (1/3)3, então t = 3.
- B) O modelo usa fator 1/3 por dia, não reduções pela metade.
- C) log_3 27 vale 3, não 4.
- D) A igualdade entre potências já determina t exatamente, sem usar log decimal.
- E) Em 1 dia, a massa seria 1/3 da inicial, ainda maior que 1/27.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. E = log[(8·125)/20] = log 50 = log(10·5) = 1 + log 5.
Comentários por alternativa:
- A) A conta correta dá log 50, mas isso ainda pode ser simplificado em 1 + log 5.
- B) log 50 é equivalente, mas não é o valor mais simplificado pedido aqui.
- C) O resultado não sai do logaritmo como número 5; depende da base e da propriedade correta.
- D) Correto. E = log[(8·125)/20] = log 50 = log(10·5) = 1 + log 5.
- E) Não se somam nem subtraem argumentos diretamente nessas propriedades.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Substituindo o ponto: 3 = log_2(11-k), então 11-k = 8 e k = 3.
Comentários por alternativa:
- A) Se y = 3, então o argumento vale 23 = 8, e não 3.
- B) O deslocamento não vem diretamente do ponto; é preciso resolver 11-k = 23.
- C) Correto. Substituindo o ponto: 3 = log_2(11-k), então 11-k = 8 e k = 3.
- D) Esse valor daria argumento 1 e produziria y = 0, não y = 3.
- E) Se k = 14, o argumento seria negativo no ponto dado, fora do domínio.
Comentários por alternativa: