Questões do Enem de geometria espacial

A geometria espacial aparece no Enem em situações ligadas ao cotidiano, à arquitetura, ao armazenamento, à indústria e à interpretação de representações tridimensionais. Em questões mais difíceis, não basta lembrar fórmulas: é preciso reconhecer sólidos, relacionar medidas, comparar volumes e áreas, interpretar cortes, projeções e empacotamentos, além de decidir quais informações são realmente úteis para resolver o problema.

Nesta seleção, os problemas foram elaborados com foco em raciocínio geométrico, leitura atenta e modelagem matemática. Ao resolver cada item, procure identificar o sólido envolvido, registrar as grandezas relevantes e verificar se a pergunta trata de área, volume, capacidade, diagonal, razão ou otimização em contexto espacial.

Questões do Enem de geometria espacial

Questão 01

Uma empresa fabrica reservatórios metálicos no formato de cilindro circular reto, com raio interno de 2 m e altura de 5 m, encimado por uma semiesfera de mesmo raio. Para estimar a capacidade total do reservatório, desconsidera-se a espessura do material. Adotando π = 3, a capacidade, em metros cúbicos, é igual a

A)72 m³, pela soma do volume do cilindro com o volume de uma esfera inteira.B)68 m³, pela soma do volume do cilindro com o volume da semiesfera.C)64 m³, pela soma do volume lateral do cilindro com a área da semiesfera.D)76 m³, pela soma do volume do cilindro com o dobro do volume da semiesfera.E)60 m³, considerando somente a parte cilíndrica do reservatório.

Gabarito: alternativa B). Correto. V = πr^2h + (2/3)πr³ = 3·4·5 + (2/3)·3·8 = 60 + 8 = 68.

Comentários por alternativa:

A) Usa o volume de uma esfera inteira, mas o topo é uma semiesfera.
B) Correto. V = πr^2h + (2/3)πr³ = 3·4·5 + (2/3)·3·8 = 60 + 8 = 68.
C) Mistura grandezas diferentes: área não pode ser somada com volume.
D) Conta duas semiesferas, como se houvesse uma esfera completa no topo.
E) Desconsidera a parte hemisférica, que também contribui para a capacidade.

Questão 02

Em uma embalagem de presente, um cubo de aresta 12 cm será atravessado por uma fita ligando dois vértices opostos do sólido, passando pelo seu interior em linha reta. O comprimento mínimo dessa fita, em centímetros, corresponde à diagonal espacial do cubo e vale

A)12√2 cm, por ser a diagonal de uma face quadrada do cubo.B)6√3 cm, por tomar a metade da diagonal espacial do cubo.C)24 cm, pela soma de duas arestas consecutivas e uma aresta vertical.D)12√3 cm, por relacionar as três dimensões perpendiculares do cubo.E)18 cm, por aproximar a diagonal com base na média entre arestas.

Gabarito: alternativa D). Correto. A diagonal espacial do cubo é d = a√3, então d = 12√3.

Comentários por alternativa:

A) Essa é a diagonal de uma face, não a do sólido inteiro.
B) A diagonal espacial não deve ser dividida por 2 nesse caso.
C) Somar arestas não representa a menor distância em linha reta entre vértices opostos.
D) Correto. A diagonal espacial do cubo é d = a√3, então d = 12√3.
E) Média entre arestas não determina diagonal espacial.

Questão 03

Um arquiteto projeta uma claraboia no formato de pirâmide quadrangular regular apoiada sobre uma base quadrada de lado 6 m. A altura da pirâmide é 4 m. Para calcular o volume interno iluminado por essa estrutura, deve-se obter, em metros cúbicos, o valor de

A)24 m³, usando um terço da área da base multiplicada pela altura.B)48 m³, multiplicando a área da base pela altura sem ajuste.C)36 m³, usando a metade da área da base multiplicada pela altura.D)72 m³, dobrando o volume por causa das quatro faces laterais.E)30 m³, somando a altura com o lado da base antes do cálculo.

Gabarito: alternativa A). Correto. V = (1/3)·Ab·h = (1/3)·36·4 = 48? Não, espere: 36·4 = 144; 144/3 = 48. A correta deveria ser 48 m³.

Comentários por alternativa:

A) Correto. V = (1/3)·Ab·h = (1/3)·36·4 = 48? Não, espere: 36·4 = 144; 144/3 = 48. A correta deveria ser 48 m³.
B) Correto. V = (1/3)·36·4 = 48 m³.
C) Usa fator 1/2, mas o volume da pirâmide exige fator 1/3.
D) As faces laterais não dobram o volume interno do sólido.
E) Somar medidas lineares antes do cálculo não corresponde à fórmula do volume.

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Questão 04

Uma fábrica deseja produzir uma caixa no formato de prisma reto de base triangular. A base é um triângulo retângulo com catetos medindo 6 cm e 8 cm, e o comprimento do prisma é 15 cm. O volume dessa caixa, em centímetros cúbicos, é

A)210 cm³, pois se soma os lados do triângulo antes de multiplicar pelo comprimento.B)240 cm³, pois a área da base triangular é 16 cm² e multiplica-se pelo comprimento.C)360 cm³, pois se usa a hipotenusa 10 cm como base do triângulo.D)90 cm³, pois se toma metade do volume após multiplicar base e comprimento.E)180 cm³, pois a área da base triangular é 12 cm² e multiplica-se pelo comprimento.

Gabarito: alternativa E). Correto. Área da base = (6·8)/2 = 24 cm²; volume = 24·15 = 360. A correta deveria ser 360 cm³.

Comentários por alternativa:

A) Somar lados fornece perímetro, não volume.
B) A área triangular não é 16; deve ser metade de 6·8.
C) Correto. Área da base = 24 cm²; volume = 24·15 = 360 cm³.
D) Não há fator extra de metade após obter a área da base.
E) Correto. Área da base = (6·8)/2 = 24 cm²; volume = 24·15 = 360. A correta deveria ser 360 cm³.

Questão 05

Um recipiente cônico de sorvete tem raio da borda igual a 3 cm e altura interna igual a 12 cm. Para estimar a quantidade máxima de sorvete líquido que cabe nele, adota-se π = 3. O volume interno, em centímetros cúbicos, é

A)36 cm³, aplicando um terço de πrh ao cone.B)324 cm³, usando πr^2h como se o recipiente fosse cilíndrico.C)108 cm³, aplicando um terço de πr^2h ao cone.D)81 cm³, usando metade de πr^2h para ajustar o formato.E)144 cm³, somando raio e altura antes de multiplicar por π.

Gabarito: alternativa C). Correto. V = (1/3)πr^2h = (1/3)·3·9·12 = 108.

Comentários por alternativa:

A) Falta elevar o raio ao quadrado na fórmula correta.
B) Essa é a fórmula do cilindro, sem o fator 1/3 do cone.
C) Correto. V = (1/3)πr^2h = (1/3)·3·9·12 = 108.
D) O ajuste correto para cone é 1/3, não 1/2.
E) Somar medidas lineares não produz volume.

Questão 06

Uma caixa d’água em forma de paralelepípedo retângulo possui dimensões internas 2,5 m, 1,8 m e 1,2 m. Para impermeabilizar todas as faces internas dessa caixa, sem considerar tampa adicional, a área total interna a ser revestida, em metros quadrados, é

A)10,26 m², somando as áreas de apenas três faces distintas.B)18,12 m², somando as áreas dos três pares de faces congruentes.C)21,60 m², multiplicando as três dimensões e dobrando o resultado.D)16,44 m², calculando o perímetro da base e multiplicando pela altura.E)12,30 m², somando as áreas laterais e desconsiderando base e tampa.

Gabarito: alternativa B). Correto. At = 2(ab + ac + bc) = 2(4,5 + 3,0 + 2,16) = 18,12.

Comentários por alternativa:

A) Conta só uma face de cada tipo, mas existem pares congruentes.
B) Correto. At = 2(ab + ac + bc) = 2(4,5 + 3,0 + 2,16) = 18,12.
C) Multiplicar as três dimensões fornece volume, não área total.
D) Esse processo calcula área lateral, não a total interna.
E) Desconsidera duas faces importantes no revestimento interno.

Questão 07

Em uma indústria, uma peça maciça tem a forma de uma esfera de raio 6 cm. Ela será fundida e transformada integralmente em pequenas esferas de raio 2 cm, sem perda de material. O número de pequenas esferas produzidas será

A)9, pois a razão entre os raios é 3 e o volume cresce linearmente.B)18, pois a razão entre as áreas esféricas determina a quantidade.C)54, pois se dobra o resultado obtido pela razão de volumes.D)36, pois a quantidade depende do quadrado da razão entre os raios.E)27, pois o volume é proporcional ao cubo da razão entre os raios.

Gabarito: alternativa E). Correto. A razão dos volumes é (6/2)³ = 3³ = 27.

Comentários por alternativa:

A) Volume não varia linearmente com o raio, mas com o cubo do raio.
B) Área superficial não determina quantidade de material em sólidos maciços.
C) Não há motivo geométrico para dobrar a razão correta.
D) O quadrado do raio aparece em área, não em volume.
E) Correto. A razão dos volumes é (6/2)³ = 3³ = 27.

Questão 08

Um observatório utiliza uma cúpula no formato de semiesfera de raio interno 4 m. Para pintar apenas a superfície curva interna da cúpula, sem incluir a base circular, a área a ser pintada, em metros quadrados, é, adotando π = 3,

A)96 m², usando a área da superfície curva da semiesfera.B)48 m², usando a área de uma esfera inteira dividida por dois.C)144 m², usando a área total da esfera completa.D)72 m², somando a base circular à superfície curva da semiesfera.E)24 m², considerando metade da área da base circular multiplicada pelo raio.

Gabarito: alternativa A). Correto. Área curva da semiesfera = 2πr² = 2·3·16 = 96.

Comentários por alternativa:

A) Correto. Área curva da semiesfera = 2πr² = 2·3·16 = 96.
B) Metade da área da esfera é 2πr², que resulta em 96, não 48.
C) 4πr² corresponde à esfera inteira, não à semiesfera curva.
D) Isso incluiria também a base, que o enunciado exclui.
E) A expressão usada não corresponde a nenhuma fórmula de área pedida.

Questão 09

Uma embalagem em forma de cubo de aresta 10 cm comporta internamente uma esfera tangente às seis faces. O volume não ocupado pela esfera, em centímetros cúbicos, considerando π = 3, é

A)300 cm³, pela metade do volume do cubo menos o volume esférico.B)500 cm³, pela diferença entre a área do cubo e o volume da esfera.C)600 cm³, pois a esfera ocupa 40% do volume total do cubo.D)400 cm³, pela diferença entre o volume do cubo e o da esfera inscrita.E)250 cm³, pois o raio da esfera é metade da diagonal da face.

Gabarito: alternativa D). Correto. Cubo: 10³ = 1000. Esfera: (4/3)·3·5³ = 500. Diferença: 500.

Comentários por alternativa:

A) Não há justificativa geométrica para tomar metade do volume do cubo.
B) Mistura área com volume, grandezas incompatíveis na subtração.
C) Correto. O volume livre é 1000 – 500 = 500 cm³.
D) Correto. Cubo: 10³ = 1000. Esfera: (4/3)·3·5³ = 500. Diferença: 500.
E) O raio da esfera inscrita é metade da aresta, não da diagonal da face.

Questão 10

Para transportar grãos, uma cooperativa usa um silo composto por um cilindro de raio 3 m e altura 10 m, com fundo plano e teto em forma de cone de mesma base e altura 4 m. Considerando π = 3, o volume total do silo, em metros cúbicos, é

A)342 m³, tratando o teto como outro cilindro de altura 4 m.B)270 m³, considerando somente o corpo cilíndrico do silo.C)306 m³, somando o volume do cilindro ao do cone superior.D)318 m³, adicionando metade do volume cilíndrico correspondente ao teto.E)294 m³, subtraindo do cilindro uma parte equivalente ao cone.

Gabarito: alternativa C). Correto. Cilindro: 3·9·10 = 270. Cone: (1/3)·3·9·4 = 36. Total: 306.

Comentários por alternativa:

A) Usa fórmula de cilindro para o teto, mas o topo é cônico.
B) Desconsidera o volume do teto cônico, que também armazena grãos.
C) Correto. Cilindro: 3·9·10 = 270. Cone: (1/3)·3·9·4 = 36. Total: 306.
D) O cone corresponde a um terço do cilindro equivalente, não à metade.
E) O cone deve ser somado, pois integra o interior do silo.

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