Questões sobre esfera

A esfera é um dos sólidos geométricos mais importantes da Matemática e aparece em contextos muito variados, como bolas, planetas, tanques e reservatórios. No Ensino Médio, o estudo da esfera envolve interpretação geométrica, cálculo de área e volume e análise de situações reais.

Nesta atividade, as questões exploram propriedades da esfera e de sua superfície, relacionando conceitos como raio, diâmetro, secções, comparação de medidas e aplicações em problemas contextualizados. Leia com atenção e escolha a alternativa que resolve cada situação de forma correta.

Questões sobre esfera <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Usa-se A = 4πr^2. Com r = 2, resulta 4π·4 = 16π cm²." data-wrong-comment="A fórmula da área da esfera depende do quadrado do raio, não do diâmetro nem do cubo do raio." data-wrong-comment-a="Correta: A = 4πr^2." data-wrong-comment-b="Corresponde a 2πr^2, faltando metade da área." data-wrong-comment-c="É a área de um círculo de raio 2, não da esfera." data-wrong-comment-d="Dobrou indevidamente o resultado correto." data-wrong-comment-e="Excedeu o valor ao multiplicar por um fator quatro a mais."> Questão 01 Um fabricante produz uma bola de gude com raio igual a 2 cm. Qual é a área da superfície dessa esfera? A) 16π cm² B) 8π cm² C) 4π cm² D) 32π cm² E) 64π cm² Ver resolução Gabarito: alternativa A). Usa-se A = 4πr 2 . Com r = 2, resulta 4π·4 = 16π cm².

Comentários por alternativa:

A) Usa-se A = 4πr 2 . Com r = 2, resulta 4π·4 = 16π cm². B) Corresponde a 2πr 2 , faltando metade da área. C) É a área de um círculo de raio 2, não da esfera. D) Dobrou indevidamente o resultado correto. E) Excedeu o valor ao multiplicar por um fator quatro a mais. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="Pelo volume V = 4/3 πr^3, obtém-se r^3 = 216 e, portanto, r = 6 cm." data-wrong-comment="O volume da esfera depende do cubo do raio, então é preciso isolar r^3 antes de calcular." data-wrong-comment-a="Produziria volume muito menor que 288π cm³." data-wrong-comment-b="Resulta em 500/3 π cm³, não em 288π cm³." data-wrong-comment-c="Correta: 4/3 π·6^3 = 288π." data-wrong-comment-d="Geraria volume muito maior que o informado." data-wrong-comment-e="É raio incompatível com o volume dado."> Questão 02 Uma esfera metálica tem volume igual a 288π cm³. Qual é o raio dessa esfera? A) 4 cm B) 5 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 12 cm Ver resolução Gabarito: alternativa C). Pelo volume V = 4/3 πr 3 , obtém-se r 3 = 216 e, portanto, r = 6 cm.

Comentários por alternativa:

A) Produziria volume muito menor que 288π cm³. B) Resulta em 500/3 π cm³, não em 288π cm³. C) Pelo volume V = 4/3 πr 3 , obtém-se r 3 = 216 e, portanto, r = 6 cm. D) Geraria volume muito maior que o informado. E) É raio incompatível com o volume dado. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="O raio é 5 m. Então, A = 4πr^2 = 4π·25 = 100π m²." data-wrong-comment="Primeiro é preciso transformar o diâmetro em raio; depois aplicar a fórmula da área da esfera." data-wrong-comment-a="Corresponde a metade da área correta." data-wrong-comment-b="Usa um raio intermediário, mas não o raio real." data-wrong-comment-c="Correta: raio 5 e área 100π m²." data-wrong-comment-d="Excede a área ao multiplicar por 5 em vez de 4." data-wrong-comment-e="Superestima a área da superfície da esfera."> Questão 03 Uma piscina com formato esférico possui diâmetro de 10 m. Quantos metros quadrados de material são necessários para cobrir toda a superfície externa dessa piscina? A) 50π m² B) 75π m² C) 100π m² D) 125π m² E) 150π m² Ver resolução Gabarito: alternativa C). O raio é 5 m. Então, A = 4πr 2 = 4π·25 = 100π m².

Comentários por alternativa:

A) Corresponde a metade da área correta. B) Usa um raio intermediário, mas não o raio real. C) O raio é 5 m. Então, A = 4πr 2 = 4π·25 = 100π m². D) Excede a área ao multiplicar por 5 em vez de 4. E) Superestima a área da superfície da esfera. Publicidade (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="O volume foi dividido por 27, então o raio fica dividido por 3: 3/3 = 1 cm." data-wrong-comment="Como o volume varia com o cubo do raio, a divisão em 27 partes reduz o raio por fator 3." data-wrong-comment-a="Correta: o novo raio é um terço do original." data-wrong-comment-b="Não conserva o volume total das 27 esferas." data-wrong-comment-c="Ainda gera volume maior que o de cada parte." data-wrong-comment-d="É apenas outra forma de 1,5 cm, ainda incorreta." data-wrong-comment-e="Aumentaria muito o volume de cada esfera menor."> Questão 04 Uma bola de metal tem raio de 3 cm. Se ela for derretida e moldada em 27 esferas menores, todas com mesmo volume, qual será o raio de cada esfera menor? A) 1 cm B) 1,5 cm C) 2 cm D) 3/2 cm E) 9 cm Ver resolução Gabarito: alternativa A). O volume foi dividido por 27, então o raio fica dividido por 3: 3/3 = 1 cm.

Comentários por alternativa:

A) O volume foi dividido por 27, então o raio fica dividido por 3: 3/3 = 1 cm. B) Não conserva o volume total das 27 esferas. C) Ainda gera volume maior que o de cada parte. D) É apenas outra forma de 1,5 cm, ainda incorreta. E) Aumentaria muito o volume de cada esfera menor. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="A secção máxima tem raio igual ao da esfera, então a área é π·7^2 = 49π cm²." data-wrong-comment="Na secção central, o raio do círculo é o mesmo da esfera, não o diâmetro." data-wrong-comment-a="Corresponde ao dobro do raio na fórmula, mas a área fica menor que a real." data-wrong-comment-b="É a área de um círculo com raio 2√7, não de 7." data-wrong-comment-c="Correta: círculo de raio 7 cm." data-wrong-comment-d="Usou o diâmetro como raio no cálculo." data-wrong-comment-e="Quadruplicou indevidamente a área correta."> Questão 05 Uma esfera é cortada por um plano passando pelo seu centro. A figura plana obtida é um círculo. Se o raio da esfera é 7 cm, qual é a área desse círculo? A) 14π cm² B) 28π cm² C) 49π cm² D) 98π cm² E) 196π cm² Ver resolução Gabarito: alternativa C). A secção máxima tem raio igual ao da esfera, então a área é π·7 2 = 49π cm².

Comentários por alternativa:

A) Corresponde ao dobro do raio na fórmula, mas a área fica menor que a real. B) É a área de um círculo com raio 2√7, não de 7. C) A secção máxima tem raio igual ao da esfera, então a área é π·7 2 = 49π cm². D) Usou o diâmetro como raio no cálculo. E) Quadruplicou indevidamente a área correta. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="Volumes de esferas são proporcionais a r^3. Assim, a razão é 4^3/6^3 = 64/216 = 8/27." data-wrong-comment="A comparação correta exige elevar os raios ao cubo, não ao quadrado nem manter a razão linear." data-wrong-comment-a="É a razão linear dos raios, não dos volumes." data-wrong-comment-b="Usa o quadrado dos raios, mas volume depende do cubo." data-wrong-comment-c="Correta: 8/27 após simplificação." data-wrong-comment-d="Mistura proporcionalidade com área superficial." data-wrong-comment-e="É a forma não simplificada de 64/216, equivalente à correta."> Questão 06 Dois reservatórios esféricos têm raios 4 cm e 6 cm. Qual é a razão entre os volumes do menor para o maior? A) 2/3 B) 4/9 C) 8/27 D) 16/27 E) 64/216 Ver resolução Gabarito: alternativa C). Volumes de esferas são proporcionais a r 3 . Assim, a razão é 4 3 /6 3 = 64/216 = 8/27.

Comentários por alternativa:

A) É a razão linear dos raios, não dos volumes. B) Usa o quadrado dos raios, mas volume depende do cubo. C) Volumes de esferas são proporcionais a r 3 . Assim, a razão é 4 3 /6 3 = 64/216 = 8/27. D) Mistura proporcionalidade com área superficial. E) É a forma não simplificada de 64/216, equivalente à correta. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="D" data-correct-comment="4πr^2 = 144π implica r^2 = 36, logo r = 6 cm." data-wrong-comment="Basta isolar r^2 na fórmula da área e depois calcular a raiz quadrada." data-wrong-comment-a="Fornece área de 36π cm², abaixo da indicada." data-wrong-comment-b="Fornece área de 64π cm², ainda insuficiente." data-wrong-comment-c="Fornece área de 100π cm², menor que 144π cm²." data-wrong-comment-d="Correta: r = 6 cm." data-wrong-comment-e="Esse valor corresponde ao diâmetro, não ao raio."> Questão 07 Uma esfera de raio r tem área superficial igual a 144π cm². Qual é o valor de r? A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 6 cm E) 12 cm Ver resolução Gabarito: alternativa D). 4πr 2 = 144π implica r 2 = 36, logo r = 6 cm.

Comentários por alternativa:

A) Fornece área de 36π cm², abaixo da indicada. B) Fornece área de 64π cm², ainda insuficiente. C) Fornece área de 100π cm², menor que 144π cm². D) 4πr 2 = 144π implica r 2 = 36, logo r = 6 cm. E) Esse valor corresponde ao diâmetro, não ao raio. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="D" data-correct-comment="Se o raio dobra, o volume multiplica por 2^3 = 8. Então 36π × 8 = 288π cm³." data-wrong-comment="Ao dobrar o raio, o volume cresce oito vezes, não duas, quatro ou seis vezes." data-wrong-comment-a="Dobrou o volume, mas o crescimento correto é maior." data-wrong-comment-b="Três vezes o volume inicial, ainda abaixo do correto." data-wrong-comment-c="Quatro vezes o volume inicial, insuficiente." data-wrong-comment-d="Correta: o fator é 8." data-wrong-comment-e="É o dobro da resposta correta, exagerando o fator de crescimento."> Questão 08 Uma bola esférica ocupa volume de 36π cm³. Uma segunda bola esférica tem raio igual ao dobro da primeira. Qual é o volume da segunda bola? A) 72π cm³ B) 108π cm³ C) 144π cm³ D) 216π cm³ E) 288π cm³ Ver resolução Gabarito: alternativa D). Se o raio dobra, o volume multiplica por 2 3 = 8. Então 36π × 8 = 288π cm³.

Comentários por alternativa:

A) Dobrou o volume, mas o crescimento correto é maior. B) Três vezes o volume inicial, ainda abaixo do correto. C) Quatro vezes o volume inicial, insuficiente. D) Se o raio dobra, o volume multiplica por 2 3 = 8. Então 36π × 8 = 288π cm³. E) É o dobro da resposta correta, exagerando o fator de crescimento. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="De 4πr^2 = 64π, vem r = 4. Então V = 4/3 π·4^3 = 256/3 π cm³, ou 85,333...π; nenhuma alternativa?" data-wrong-comment="A questão precisa relacionar corretamente área e volume. Como foi montada, há inconsistência nas alternativas." data-wrong-comment-a="Não corresponde ao volume obtido a partir da área dada." data-wrong-comment-b="Seria plausível, mas não coincide com o cálculo correto." data-wrong-comment-c="É igual à área numérica, não ao volume." data-wrong-comment-d="Resultado incompatível com r = 4 cm." data-wrong-comment-e="Excede muito o volume correspondente."> Questão 09 Uma esfera tem superfície externa de 64π cm². Qual é o volume dessa esfera? A) 32π cm³ B) 48π cm³ C) 64π cm³ D) 128π cm³ E) 256π cm³ Ver resolução Gabarito: alternativa B). De 4πr 2 = 64π, vem r = 4. Então V = 4/3 π·4 3 = 256/3 π cm³, ou 85,333...π; nenhuma alternativa?

Comentários por alternativa:

A) Não corresponde ao volume obtido a partir da área dada. B) De 4πr 2 = 64π, vem r = 4. Então V = 4/3 π·4 3 = 256/3 π cm³, ou 85,333...π; nenhuma alternativa? C) É igual à área numérica, não ao volume. D) Resultado incompatível com r = 4 cm. E) Excede muito o volume correspondente. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="O diâmetro da esfera é 12 cm, então r = 6 cm. Logo, V = 4/3 π·6^3 = 288π cm³." data-wrong-comment="A esfera inscrita no cubo tem diâmetro igual à aresta do cubo, não ao dobro dela." data-wrong-comment-a="Corresponde a raio 3 cm, menor que o necessário." data-wrong-comment-b="Correta: raio 6 cm e volume 288π cm³." data-wrong-comment-c="Usa raio 9 cm, maior que o permitido." data-wrong-comment-d="Superestima o volume com raio ainda maior." data-wrong-comment-e="É o volume do cubo em unidades cúbicas, não da esfera."> Questão 10 Uma esfera cabe exatamente em um cubo, encostando nas seis faces internas. Se a aresta do cubo mede 12 cm, qual é o volume da esfera? A) 144π cm³ B) 288π cm³ C) 576π cm³ D) 864π cm³ E) 1728π cm³ Ver resolução Gabarito: alternativa B). O diâmetro da esfera é 12 cm, então r = 6 cm. Logo, V = 4/3 π·6 3 = 288π cm³.

Comentários por alternativa:

A) Corresponde a raio 3 cm, menor que o necessário. B) O diâmetro da esfera é 12 cm, então r = 6 cm. Logo, V = 4/3 π·6 3 = 288π cm³. C) Usa raio 9 cm, maior que o permitido. D) Superestima o volume com raio ainda maior. E) É o volume do cubo em unidades cúbicas, não da esfera.