Esta seleção reúne questões difíceis, contextualizadas e inéditas, no estilo da OBMEP 2025 para o 9º ano. O foco está em raciocínio lógico, contagem, geometria, números e análise de padrões.
Cada item foi elaborado para treinar estratégia e leitura atenta, com alternativas plausíveis e comentários curtos. As respostas corretas estão distribuídas ao longo da lista para favorecer a prática real de prova.
Questões OBMEP 2025 – 9º ano – parte 2
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. Para cada lado k, há (7-k)2 posições; somando k de 1 a 6, obtém-se 126.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. P(mesma cor)=C(5,2)+C(4,2)+C(3,2) sobre C(12,2)=14/66, então diferente = 52/66 = 19/33.
Comentários por alternativa:
- A) A presença de três cores não determina essa probabilidade.
- B) A composição muda, mas o valor numérico não é esse.
- C) A soma das ordens precisa ser normalizada corretamente.
- D) Correto. P(mesma cor)=C(5,2)+C(4,2)+C(3,2) sobre C(12,2)=14/66, então diferente = 52/66 = 19/33.
- E) Falta incluir todos os pares possíveis e a normalização total.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Testando n = 5k+3, o primeiro que dá resto 1 por 4 é 23? Vamos verificar: 3, 8, 13, 18, 23… o menor é 13?
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Testando n = 5k+3, o primeiro que dá resto 1 por 4 é 23? Vamos verificar: 3, 8, 13, 18, 23… o menor é 13?
- B) Satisfaz uma condição, mas não a outra.
- C) Satisfaz as duas condições? Vamos conferir: 17 mod 5 = 2.
- D) Não satisfaz o resto 3 na divisão por 5.
- E) É uma solução possível, mas não a menor positiva.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. A área de um triângulo é base vezes altura sobre 2; com base 12, a altura vale 3. Como o retângulo tem altura 5, a distância ao lado mais próximo é 2.
Comentários por alternativa:
- A) A altura calculada não fecha com a área dada.
- B) Usa metade da base sem justificar a área.
- C) Confunde a altura do triângulo com a distância pedida.
- D) Excede a distância compatível com o retângulo.
- E) Correto. A área de um triângulo é base vezes altura sobre 2; com base 12, a altura vale 3. Como o retângulo tem altura 5, a distância ao lado mais próximo é 2.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. A sequência dobra e soma 1: 2, 5, 11, 23, 47? Vamos verificar o quinto termo com cuidado: a2=5, a3=11, a4=23, a5=47.
Comentários por alternativa:
- A) Corresponde a um termo anterior da sequência.
- B) É maior do que o quarto termo, não o quinto.
- C) Correto. A sequência dobra e soma 1: 2, 5, 11, 23, 47? Vamos verificar o quinto termo com cuidado: a2=5, a3=11, a4=23, a5=47.
- D) Aparece em outra etapa da recorrência.
- E) Ultrapassa o valor obtido pela recorrência até a5.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. No triângulo equilátero, o raio da circunferência circunscrita é R = lado/√3; logo, lado = 6√3.
Comentários por alternativa:
- A) O lado não é igual ao raio nessa inscrição.
- B) Correto. No triângulo equilátero, o raio da circunferência circunscrita é R = lado/√3; logo, lado = 6√3.
- C) A fórmula usada não corresponde ao raio circunscrito.
- D) A metade do raio não é a grandeza pedida.
- E) A relação com o diâmetro não produz essa medida.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Os números são 18 e 30, pois 18+30=48 e 18·30=540; a diferença é 12.
Comentários por alternativa:
- A) Não corresponde a nenhum par com essa soma e produto.
- B) Um dos fatores não fecha com o produto.
- C) Excede a diferença do par correto.
- D) O par gerado não atende ao produto informado.
- E) Correto. Os números são 18 e 30, pois 18+30=48 e 18·30=540; a diferença é 12.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. O primeiro encontro no ponto de partida ocorre no mínimo múltiplo comum de 12 e 18, que é 36.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. O primeiro encontro no ponto de partida ocorre no mínimo múltiplo comum de 12 e 18, que é 36.
- B) A soma dos tempos não garante retorno simultâneo.
- C) A média não determina coincidência no ponto inicial.
- D) Ser múltiplo de 6 não basta para voltar juntos ao início.
- E) É um encontro posterior ao primeiro.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. A figura central equivale ao quadrado menos quatro triângulos congruentes de área 2 cada? Vamos calcular: 100 – 4·(2·8/2)=68.
Comentários por alternativa:
- A) Subtrai área demais dos cantos.
- B) Ainda deixa canto maior do que o permitido.
- C) Não corresponde à soma das áreas removidas.
- D) Correto. A figura central equivale ao quadrado menos quatro triângulos congruentes de área 2 cada? Vamos calcular: 100 – 4·(2·8/2)=68.
- E) Excede a área possível da figura interna.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Os primos entre 1 e 6 são 2, 3 e 5; logo, 22 + 32 + 52 = 4 + 9 + 25 = 38?
Comentários por alternativa:
- A) Não resulta da soma dos quadrados dos primos da lista.
- B) Falta incluir ao menos um primo.
- C) Correto. Os primos entre 1 e 6 são 2, 3 e 5; logo, 22 + 32 + 52 = 4 + 9 + 25 = 38?
- D) Acrescenta um valor que não vem dos primos listados.
- E) Inclui números que não são primos ou soma em excesso.
Comentários por alternativa: