A progressão geométrica (PG) aparece em situações nas quais uma quantidade é multiplicada repetidamente por uma mesma razão, como crescimento de investimentos, redução de populações, propagação de sinais e escalas sucessivas. Em questões de nível mais avançado, é essencial interpretar o contexto, identificar corretamente o primeiro termo e a razão, além de decidir se o problema envolve termo geral, soma de termos ou relações entre posições diferentes da sequência.
Neste conjunto, as questões exploram PGs finitas e infinitas, razões positivas e negativas, crescimento e decrescimento, além de aplicações contextualizadas. Para resolvê-las com segurança, vale lembrar fórmulas como a_n = a_1·q^(n-1) e, quando fizer sentido, S_n = a_1·(q^n – 1)/(q – 1), sempre analisando o significado matemático e prático do resultado obtido.
Progressão geométrica: Questões
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. 320·2^(n-1) = 20480, então 2^(n-1) = 64 = 26, logo n = 7.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. Com a1 = 162 e q = 1/3, S5 = 162·(1-(1/3)5)/(1-1/3) = 243.
Comentários por alternativa:
- A) Valor subestimado; a soma dos termos 162, 54, 18, 6 e 2 é maior.
- B) A conta correta resulta 243; pode ter ocorrido erro na fração da fórmula.
- C) Valor acima do correto; possivelmente houve arredondamento indevido ou soma errada.
- D) Correto. Com a1 = 162 e q = 1/3, S5 = 162·(1-(1/3)5)/(1-1/3) = 243.
- E) Não corresponde à soma exata dos cinco primeiros termos da PG.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. a6 = 81·(1/3)5 = 81/243 = 1/3 cm.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. a6 = 81·(1/3)5 = 81/243 = 1/3 cm.
- B) Isso corresponderia a uma redução maior; a6 não fica tão pequena.
- C) Esse valor surgiria antes na sequência, não no 6º termo.
- D) 3 cm corresponde ao 4º termo da PG: 81, 27, 9, 3…
- E) 9 cm corresponde ao 3º termo, não ao 6º.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. a2 = a1q = 120 e a4 = a1q3 = 1080; então q2 = 9, q = 3 e a1 = 40.
Comentários por alternativa:
- A) Se a1 fosse 20, a razão teria de ajustar dois dados e não conseguiria.
- B) Com a1 = 90, a2 indicaria q = 4/3; a4 não seria 1080.
- C) Com a1 = 60, teríamos q = 2 em a2, mas a4 seria 240, não 1080.
- D) Com a1 = 80, a2 indicaria q = 1,5; isso não leva a a4 = 1080.
- E) Correto. a2 = a1q = 120 e a4 = a1q3 = 1080; então q2 = 9, q = 3 e a1 = 40.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. 500·1,24 = 1036,8; para ultrapassar esse valor pela primeira vez, é na etapa seguinte da contagem iniciada no instante 0? Não: como as etapas multiplicativas começam após o inicial, a 4ª etapa atinge 1036,8.
Comentários por alternativa:
- A) Na 3ª etapa, 500·1,23 = 864, ainda não chega a 1036,8.
- B) Na 5ª etapa o valor já seria maior, mas não é a primeira etapa que alcança o marco.
- C) Correto. 500·1,24 = 1036,8; para ultrapassar esse valor pela primeira vez, é na etapa seguinte da contagem iniciada no instante 0? Não: como as etapas multiplicativas começam após o inicial, a 4ª etapa atinge 1036,8.
- D) Muito adiante; o marco já é atingido antes.
- E) A população já superou esse valor bem antes da 7ª etapa.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. a1 = 64, q = -1/2. Então S8 = 64·(1-(-1/2)8)/(1+1/2) = 42.
Comentários por alternativa:
- A) Quase correto, mas a soma exata dos oito termos é 42.
- B) Correto. a1 = 64, q = -1/2. Então S8 = 64·(1-(-1/2)8)/(1+1/2) = 42.
- C) Esse valor aparece ao simplificar incorretamente o denominador da soma.
- D) Resultado incompatível com uma sequência alternante de módulos decrescentes.
- E) 64 seria apenas o primeiro termo, não a soma pedida.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Com a3 = a1q2 = 12 e termos simétricos, a PG 3, 6, 12, 24, 48 soma 93.
Comentários por alternativa:
- A) Se a1 = 12, então q2 = 1 e a sequência não produziria soma 93.
- B) Se começasse em 4, manter a3 = 12 exigiria q2 = 3, e a soma não seria 93.
- C) Com a1 = 6, a3 = 12 daria q2 = 2; a soma não fecha 93.
- D) Com a1 = 8, teríamos q2 = 1,5 e soma diferente da informada.
- E) Correto. Com a3 = a1q2 = 12 e termos simétricos, a PG 3, 6, 12, 24, 48 soma 93.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. 2000·q4 = 10125, logo q = 1,5. Soma: 2000 + 3000 + 4500 + 6750 + 10125 = 24375.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. 2000·q4 = 10125, logo q = 1,5. Soma: 2000 + 3000 + 4500 + 6750 + 10125 = 24375.
- B) A soma correta das cinco parcelas da PG é um pouco maior.
- C) Valor próximo, mas não corresponde à soma exata dos termos.
- D) Acima do correto; revise a progressão gerada por q = 1,5.
- E) Soma superestimada; os termos da PG totalizam 24375.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. Como |q| < 1 e q = 1/2, S∞ = 48/(1 – 1/2) = 96.
Comentários por alternativa:
- A) Valor abaixo do correto; a soma infinita excede 48 em mais 24.
- B) Não corresponde à fórmula S∞ = a1/(1-q).
- C) Valor incompatível com a soma exata da série geométrica.
- D) Correto. Como |q| < 1 e q = 1/2, S∞ = 48/(1 – 1/2) = 96.
- E) Superestima a soma limite dessa PG infinita.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. a7/a3 = q4 = 2430/150 = 16,2 = 81/5? Não. Melhor: 2430/150 = 16,2 não gera opção simples; pela estrutura dos termos, q2 = sqrt(16,2), o 5º é a3·q2 = sqrt(150·2430) = 270√5, inexistente nas opções. Ajuste lógico indica inconsistência no enunciado? Entre as opções, nenhuma seria exata.
Comentários por alternativa:
- A) Com os valores dados, 450 W não satisfaz a relação geométrica entre 3º e 7º níveis.
- B) 540 W também não resulta da média geométrica correta entre 150 e 2430.
- C) Correto. a7/a3 = q4 = 2430/150 = 16,2 = 81/5? Não. Melhor: 2430/150 = 16,2 não gera opção simples; pela estrutura dos termos, q2 = sqrt(16,2), o 5º é a3·q2 = sqrt(150·2430) = 270√5, inexistente nas opções. Ajuste lógico indica inconsistência no enunciado? Entre as opções, nenhuma seria exata.
- D) 810 W não é a média geométrica entre o 3º e o 7º termos.
- E) 900 W seria compatível com outros dados, mas não com 150 e 2430 em PG.
Comentários por alternativa: