Questões sobre Polinômios

Os polinômios aparecem em muitos contextos do Ensino Médio, como modelagem de áreas, volumes, trajetórias, crescimento e análise de padrões numéricos. Estudar suas operações, fatoração, divisibilidade e raízes ajuda a compreender estruturas algébricas importantes e a resolver problemas com mais estratégia e menos cálculo mecânico.

Nesta lista, as questões exigem interpretação e domínio de propriedades dos polinômios, incluindo grau, coeficientes, resto da divisão, teorema do resto, teorema do fator e identidades algébricas. As situações foram pensadas para serem desafiadoras, mas com enunciados claros e alternativas plausíveis.

Questões sobre Polinômios <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Correto. A base fica (x-4) por (x+4-4)=x, e a altura é 2; volume = 2x(x-4)=2x^2-8x." data-wrong-comment="A expressão do volume precisa considerar as dimensões após o recorte e a altura da caixa." data-wrong-comment-a="Ignora a redução das dimensões da base após os cortes." data-wrong-comment-b="Correta." data-wrong-comment-c="Forma incompleta e não representa o volume da caixa." data-wrong-comment-d="Forma incompleta e não representa o volume da caixa." data-wrong-comment-e="Forma incompleta e não representa o volume da caixa."> Questão 01 Uma caixa sem tampa é feita a partir de uma folha retangular de dimensões x por x+4, retirando-se quadrados de lado 2 cm em cada canto e dobrando as abas. Qual é o volume, em cm 3 , da caixa em função de x? A) 2x 2 +4x B) x 2 +4x-16 C) (x-4)(x-?)(x+4) D) (x-4)(x+?)(x+4) E) (x-4)(x+?)(x+4) Ver resolução Gabarito: alternativa B). Correto. A base fica (x-4) por (x+4-4)=x, e a altura é 2; volume = 2x(x-4)=2x 2 -8x.

Comentários por alternativa:

A) Ignora a redução das dimensões da base após os cortes. B) Correto. A base fica (x-4) por (x+4-4)=x, e a altura é 2; volume = 2x(x-4)=2x 2 -8x. C) Forma incompleta e não representa o volume da caixa. D) Forma incompleta e não representa o volume da caixa. E) Forma incompleta e não representa o volume da caixa. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="D" data-correct-comment="Correto. Pelo teorema do resto, P(2)=0: 8-16+2a+12=0, então 2a-4=0 e a=2." data-wrong-comment="A divisibilidade por (x-2) exige P(2)=0, não apenas comparação de coeficientes." data-wrong-comment-a="Substituindo x=2, o valor não zera." data-wrong-comment-b="Substituindo x=2, o valor não zera." data-wrong-comment-c="Substituindo x=2, o valor não zera." data-wrong-comment-d="Correta." data-wrong-comment-e="Substituindo x=2, o valor não zera."> Questão 02 Se P(x)=x 3 -4x 2 +ax+12 é divisível por (x-2), qual é o valor de a? A) -4 B) 0 C) 2 D) 4 E) 6 Ver resolução Gabarito: alternativa D). Correto. Pelo teorema do resto, P(2)=0: 8-16+2a+12=0, então 2a-4=0 e a=2.

Comentários por alternativa:

A) Substituindo x=2, o valor não zera. B) Substituindo x=2, o valor não zera. C) Substituindo x=2, o valor não zera. D) Correto. Pelo teorema do resto, P(2)=0: 8-16+2a+12=0, então 2a-4=0 e a=2. E) Substituindo x=2, o valor não zera. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. O maior expoente é 4 e o coeficiente do termo de maior grau é 2." data-wrong-comment="O grau é determinado pelo maior expoente não nulo, e o coeficiente líder vem desse termo." data-wrong-comment-a="Correta." data-wrong-comment-b="-3 é coeficiente do termo x^2, não do termo de maior grau." data-wrong-comment-c="O grau não é 2, pois existe termo x^4." data-wrong-comment-d="Não há termo de grau 5." data-wrong-comment-e="5 é coeficiente do termo linear, não do líder."> Questão 03 Considere o polinômio Q(x)=2x 4 -3x 2 +5x-1. Qual é seu grau e seu coeficiente líder? A) Grau 4 e coeficiente líder 2 B) Grau 4 e coeficiente líder -3 C) Grau 2 e coeficiente líder 2 D) Grau 5 e coeficiente líder 5 E) Grau 4 e coeficiente líder 5 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. O maior expoente é 4 e o coeficiente do termo de maior grau é 2.

Comentários por alternativa:

A) Correto. O maior expoente é 4 e o coeficiente do termo de maior grau é 2. B) -3 é coeficiente do termo x 2 , não do termo de maior grau. C) O grau não é 2, pois existe termo x 4 . D) Não há termo de grau 5. E) 5 é coeficiente do termo linear, não do líder. Publicidade (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. Pelo teorema do resto, o resto é R(-1)= -1+2+5+1=7? Não; calculando corretamente: -1+2+5+1=7." data-wrong-comment="O resto da divisão por (x+1) é R(-1)." data-wrong-comment-a="Incorreta; o cálculo de R(-1) resulta 7." data-wrong-comment-b="Incorreta; o cálculo de R(-1) resulta 7." data-wrong-comment-c="Incorreta; o cálculo de R(-1) resulta 7." data-wrong-comment-d="Incorreta; o cálculo de R(-1) resulta 7." data-wrong-comment-e="Correta, mas a alternativa correta deveria ser 7."> Questão 04 Ao dividir R(x)=x 3 +2x 2 -5x+1 por (x+1), o resto é: A) -7 B) -1 C) 1 D) 3 E) 7 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. Pelo teorema do resto, o resto é R(-1)= -1+2+5+1=7? Não; calculando corretamente: -1+2+5+1=7.

Comentários por alternativa:

A) Correto. Pelo teorema do resto, o resto é R(-1)= -1+2+5+1=7? Não; calculando corretamente: -1+2+5+1=7. B) Incorreta; o cálculo de R(-1) resulta 7. C) Incorreta; o cálculo de R(-1) resulta 7. D) Incorreta; o cálculo de R(-1) resulta 7. E) Correta, mas a alternativa correta deveria ser 7. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Correto. Como x-3 é fator, S(3)=0: 27-9k+9-9=0, logo 27-9k=0 e k=3." data-wrong-comment="Use o teorema do fator: se x-3 é fator, então S(3)=0." data-wrong-comment-a="S(3) não zera com esse valor." data-wrong-comment-b="Correta." data-wrong-comment-c="S(3) não zera com esse valor." data-wrong-comment-d="S(3) não zera com esse valor." data-wrong-comment-e="S(3) não zera com esse valor."> Questão 05 Se x-3 é fator de S(x)=x 3 -kx 2 +3x-9, então k vale: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 Ver resolução Gabarito: alternativa B). Correto. Como x-3 é fator, S(3)=0: 27-9k+9-9=0, logo 27-9k=0 e k=3.

Comentários por alternativa:

A) S(3) não zera com esse valor. B) Correto. Como x-3 é fator, S(3)=0: 27-9k+9-9=0, logo 27-9k=0 e k=3. C) S(3) não zera com esse valor. D) S(3) não zera com esse valor. E) S(3) não zera com esse valor. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. As diferenças são 6 e 8; a segunda diferença é 2, então 2a=2 e a=1." data-wrong-comment="Em uma função quadrática, a segunda diferença constante determina o coeficiente a." data-wrong-comment-a="Correta." data-wrong-comment-b="A segunda diferença indicaria a=2, o que não confere." data-wrong-comment-c="A segunda diferença indicaria a=3, o que não confere." data-wrong-comment-d="A segunda diferença indicaria a=4, o que não confere." data-wrong-comment-e="A segunda diferença indicaria a=5, o que não confere."> Questão 06 Um polinômio T(x) satisfaz T(1)=4, T(2)=10 e T(3)=18. Se T(x) for da forma ax 2 +bx+c, então a é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. As diferenças são 6 e 8; a segunda diferença é 2, então 2a=2 e a=1.

Comentários por alternativa:

A) Correto. As diferenças são 6 e 8; a segunda diferença é 2, então 2a=2 e a=1. B) A segunda diferença indicaria a=2, o que não confere. C) A segunda diferença indicaria a=3, o que não confere. D) A segunda diferença indicaria a=4, o que não confere. E) A segunda diferença indicaria a=5, o que não confere. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Correto. Primeiro use diferença de quadrados: x^4-16=(x^2-4)(x^2+4), e depois x^2-4=(x-2)(x+2)." data-wrong-comment="Fatorar completamente exige aplicar a identidade de diferença de quadrados duas vezes." data-wrong-comment-a="Ainda falta fatorar x^2-4." data-wrong-comment-b="Correta." data-wrong-comment-c="Faltou a etapa correta da diferença de quadrados inicial." data-wrong-comment-d="Mistura fatoração correta com fator incorreto." data-wrong-comment-e="Não resulta na expansão original."> Questão 07 A expressão x 4 -16 pode ser fatorada completamente como: A) (x 2 -4)(x 2 +4) B) (x-4)(x+4)(x 2 +4) C) (x-2)(x+2)(x 2 +4) D) (x-2)(x+2)(x 2 -4) E) (x-4)(x+4)(x 2 -4) Ver resolução Gabarito: alternativa B). Correto. Primeiro use diferença de quadrados: x 4 -16=(x 2 -4)(x 2 +4), e depois x 2 -4=(x-2)(x+2).

Comentários por alternativa:

A) Ainda falta fatorar x 2 -4. B) Correto. Primeiro use diferença de quadrados: x 4 -16=(x 2 -4)(x 2 +4), e depois x 2 -4=(x-2)(x+2). C) Faltou a etapa correta da diferença de quadrados inicial. D) Mistura fatoração correta com fator incorreto. E) Não resulta na expansão original. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="Correto. Os termos ímpares se anulam e o termo constante dobra: P(-x)+P(x)=-4x^3-12." data-wrong-comment="Substituindo -x, os termos de expoente ímpar trocam de sinal; os pares permanecem." data-wrong-comment-a="Não zera, pois o termo constante permanece." data-wrong-comment-b="Essa é a soma dos termos de mesma forma, não de P(-x)+P(x)." data-wrong-comment-c="Correta." data-wrong-comment-d="O termo x^5 também se cancela nessa soma." data-wrong-comment-e="Tem sinais invertidos e não corresponde à soma."> Questão 08 Se P(x)=x 5 -2x 3 +x-6, então P(-x)+P(x) é: A) 0 B) 2x 5 -4x 3 +2x-12 C) -4x 3 -12 D) 2x 5 +2x-12 E) -2x 5 +4x 3 -2x+12 Ver resolução Gabarito: alternativa C). Correto. Os termos ímpares se anulam e o termo constante dobra: P(-x)+P(x)=-4x 3 -12.

Comentários por alternativa:

A) Não zera, pois o termo constante permanece. B) Essa é a soma dos termos de mesma forma, não de P(-x)+P(x). C) Correto. Os termos ímpares se anulam e o termo constante dobra: P(-x)+P(x)=-4x 3 -12. D) O termo x 5 também se cancela nessa soma. E) Tem sinais invertidos e não corresponde à soma. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. Raízes 1, 2 e -1 geram os fatores (x-1)(x-2)(x+1), com coeficiente líder 2." data-wrong-comment="As raízes determinam os fatores lineares; depois ajusta-se pelo coeficiente líder." data-wrong-comment-a="Correta." data-wrong-comment-b="Falta o fator 2 do coeficiente líder." data-wrong-comment-c="A raiz 2 exigiria o fator (x-2), não (x+2)." data-wrong-comment-d="Repete a raiz 1 sem justificativa." data-wrong-comment-e="Repete a raiz 2 e omite a raiz 1."> Questão 09 Um polinômio U(x) de grau 3 tem raízes 1, 2 e -1 e coeficiente líder 2. Então U(x) é: A) 2(x-1)(x-2)(x+1) B) (x-1)(x-2)(x+1) C) 2(x+1)(x+2)(x-1) D) 2(x-1) 2 (x+1) E) 2(x-2) 2 (x+1) Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. Raízes 1, 2 e -1 geram os fatores (x-1)(x-2)(x+1), com coeficiente líder 2.

Comentários por alternativa:

A) Correto. Raízes 1, 2 e -1 geram os fatores (x-1)(x-2)(x+1), com coeficiente líder 2. B) Falta o fator 2 do coeficiente líder. C) A raiz 2 exigiria o fator (x-2), não (x+2). D) Repete a raiz 1 sem justificativa. E) Repete a raiz 2 e omite a raiz 1. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. O resto deve ter grau menor que 2; usando W(1) e W(-1), obtém-se a=1 e b=-7." data-wrong-comment="Para divisões por polinômio de grau 2, o resto é linear e pode ser encontrado por valores em raízes do divisor." data-wrong-comment-a="Correta." data-wrong-comment-b="Os valores obtidos por W(1) e W(-1) não conferem." data-wrong-comment-c="Os valores obtidos por W(1) e W(-1) não conferem." data-wrong-comment-d="Os valores obtidos por W(1) e W(-1) não conferem." data-wrong-comment-e="O resto não é constante; precisa ser linear."> Questão 10 Na divisão de W(x)=3x 4 -5x 3 +2x 2 -7 por x 2 -1, o resto tem a forma ax+b. Quais são a e b? A) a=1, b=-7 B) a=-2, b=-5 C) a=-5, b=-7 D) a=2, b=1 E) a=0, b=-7 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. O resto deve ter grau menor que 2; usando W(1) e W(-1), obtém-se a=1 e b=-7.

Comentários por alternativa:

A) Correto. O resto deve ter grau menor que 2; usando W(1) e W(-1), obtém-se a=1 e b=-7. B) Os valores obtidos por W(1) e W(-1) não conferem. C) Os valores obtidos por W(1) e W(-1) não conferem. D) Os valores obtidos por W(1) e W(-1) não conferem. E) O resto não é constante; precisa ser linear.