A análise combinatória estuda maneiras de contar possibilidades sem precisar listá-las uma a uma. No Ensino Médio, ela aparece em situações como formação de senhas, organização de pessoas, distribuição de tarefas e escolha de comissões. Em problemas mais difíceis, o principal desafio não é aplicar fórmulas decoradas, mas identificar se a ordem importa, se há repetição e se existem restrições específicas.
Para resolver bem esse tipo de questão, é importante distinguir arranjos, combinações, permutações e o uso do princípio multiplicativo. Também é essencial interpretar o contexto com atenção, pois pequenas condições, como “juntos”, “separados”, “em ordem alfabética” ou “sem repetir”, mudam completamente a contagem. A seguir, você encontrará questões contextualizadas que exigem raciocínio cuidadoso e organização das possibilidades.
Questões sobre análise combinatória 2
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. Total de equipes: C(10,4)=210. Com Ana e Bruno juntos: C(8,2)=28. Logo, 210 – 28 = 182.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. Considere Carlos e Daniel como um bloco: 7! posições, vezes 2 ordens internas. Resultado: 2·7! = 10080.
Comentários por alternativa:
- A) Valor muito baixo; parece considerar poucas posições ou ignorar vários alunos.
- B) Você provavelmente esqueceu uma parte da contagem, como a troca interna do bloco.
- C) Esse valor não corresponde à permutação com vínculo de vizinhança.
- D) Correto. Considere Carlos e Daniel como um bloco: 7! posições, vezes 2 ordens internas. Resultado: 2·7! = 10080.
- E) Você talvez tenha usado 8!/7, mas a condição de ficarem juntos exige outro raciocínio.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. Letras: 26·25·24. Algarismos: 10·9. Total: 26·25·24·10·9 = 1404000.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Letras: 26·25·24. Algarismos: 10·9. Total: 26·25·24·10·9 = 1404000.
- B) Você possivelmente tratou algum bloco com repetição indevida ou arredondou uma etapa.
- C) Esse valor sugere erro ao contar letras ou algarismos distintos.
- D) Provável troca entre combinação e arranjo; em senha, a ordem importa.
- E) Valor acima do correto; talvez tenha permitido repetição onde não podia.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. Escolhe-se 3 das 7 meninas e 2 dos 5 meninos: C(7,3)·C(5,2)=35·10=350.
Comentários por alternativa:
- A) Você provavelmente calculou apenas uma das escolhas ou multiplicou valores incorretos.
- B) Resultado plausível, mas não corresponde a C(7,3)·C(5,2).
- C) Esse número costuma surgir quando uma combinação foi superestimada.
- D) Você pode ter usado arranjos, mas aqui não há ordem entre os membros.
- E) Correto. Escolhe-se 3 das 7 meninas e 2 dos 5 meninos: C(7,3)·C(5,2)=35·10=350.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. Como as posições são diferentes, contamos arranjos: 6·5·4 = 120.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor seria combinação de 6 tomadas 3, mas no pódio a ordem importa.
- B) Você contou menos ordens do que o necessário para três posições distintas.
- C) Correto. Como as posições são diferentes, contamos arranjos: 6·5·4 = 120.
- D) Valor intermediário plausível, porém não resulta do arranjo correto.
- E) Esse valor excede o total correto; parece incluir repetições impossíveis.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. São 10 letras, com A repetido 3 vezes, M repetido 2 e T repetido 2: 10!/(3!2!2!) = 498960.
Comentários por alternativa:
- A) Você dividiu em excesso, reduzindo demais o número de anagramas.
- B) Correto. São 10 letras, com A repetido 3 vezes, M repetido 2 e T repetido 2: 10!/(3!2!2!) = 498960.
- C) Esse valor é o dobro do correto; talvez tenha esquecido uma repetição.
- D) Provável desconto incorreto das letras repetidas ou erro em 10!.
- E) Número baixo; indica divisões extras ou contagem incompleta.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Total: 9! = 362880. Com Física e Química juntos: 2·8! = 80640. Diferença: 282240.
Comentários por alternativa:
- A) Maior que 9!, portanto impossível para 9 projetos distintos.
- B) Você retirou poucos casos proibidos; revise o bloco dos projetos consecutivos.
- C) Esse é o total sem restrição, antes de excluir os casos proibidos.
- D) Valor acima do total permitido após a restrição; algo foi somado indevidamente.
- E) Correto. Total: 9! = 362880. Com Física e Química juntos: 2·8! = 80640. Diferença: 282240.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. Como a ordem não importa, usamos combinação: C(8,3)=56.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. Como a ordem não importa, usamos combinação: C(8,3)=56.
- B) Valor plausível, mas ainda abaixo de C(8,3).
- C) Você contou poucas escolhas; talvez tenha simplificado demais a combinação.
- D) Esse número é maior que o correto; parece contagem com ordem parcial.
- E) Esse valor corresponde a arranjo/permutação indevida; aqui a ordem não importa.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. Distribuir 5 livros diferentes para 5 alunos, um para cada, equivale a permutar 5 objetos: 5! = 120.
Comentários por alternativa:
- A) Esse valor é baixo; parece considerar escolhas independentes sem restrição adequada.
- B) Você provavelmente parou em 5·4·3, esquecendo as etapas finais.
- C) Não corresponde ao número de bijeções entre 5 livros e 5 alunos.
- D) Correto. Distribuir 5 livros diferentes para 5 alunos, um para cada, equivale a permutar 5 objetos: 5! = 120.
- E) Esse valor permitiria escolhas repetidas, mas cada livro vai para um aluno só.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. Casos sem Luiza: 6·5·4=120. Casos com Luiza presidente: 1·6·5=30. Como ela só aceita nessa condição, total válido: 120 + 30 = 150.
Comentários por alternativa:
- A) Você contou só parte das diretorias possíveis, ignorando muitos casos sem Luiza.
- B) Valor insuficiente; faltam formações em que Luiza não participa.
- C) Correto. Casos sem Luiza: 6·5·4=120. Casos com Luiza presidente: 1·6·5=30. Como ela só aceita nessa condição, total válido: 120 + 30 = 150.
- D) Esse número está muito abaixo do total válido com três cargos distintos.
- E) Esse é o total sem restrição: 7·6·5, antes de aplicar a condição de Luiza.
Comentários por alternativa: