Questões do teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a 2 + b 2 = c 2 . No Ensino Médio, porém, seu uso vai muito além de encontrar um lado desconhecido: ele aparece em problemas de distância no plano cartesiano, diagonais de figuras, inclinações, rampas, cabos, trajetórias e até em análises espaciais. Em questões difíceis, o desafio costuma estar mais na modelagem da situação do que na conta em si.

Para resolver bem esse tipo de problema, é essencial identificar onde há um ângulo reto, traduzir o contexto em medidas geométricas coerentes e verificar se a grandeza pedida é um comprimento, uma área ou outra relação derivada. Muitas situações exigem mais de uma aplicação do teorema, uso de expressões algébricas ou combinação com outros conceitos, como semelhança, perímetro, geometria espacial e coordenadas cartesianas.

Questões do teorema de Pitágoras <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="Correto. Pela relação 5^2 + h^2 = 13^2, temos h^2 = 144 e h = 12." data-wrong-comment="Revise a aplicação do teorema de Pitágoras no triângulo formado pela parede, chão e escada." data-wrong-comment-a="8 m não satisfaz 5^2 + h^2 = 13^2; resultaria em hipotenusa menor que 13." data-wrong-comment-b="10 m geraria 5^2 + 10^2 = 125, diferente de 169." data-wrong-comment-c="Correto. Pela relação 5^2 + h^2 = 13^2, temos h^2 = 144 e h = 12." data-wrong-comment-d="13 m é a hipotenusa, isto é, o comprimento da escada, não a altura." data-wrong-comment-e="18 m é impossível, pois a altura não pode superar a hipotenusa de 13 m."> Questão 01 Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede vertical. Por segurança, sua base deve ficar a 5 m da parede. Desconsiderando a espessura da escada, a altura atingida na parede será de: A) 8 m B) 10 m C) 12 m D) 13 m E) 18 m Ver resolução Gabarito: alternativa C). Correto. Pela relação 5 2 + h 2 = 13^2, temos h 2 = 144 e h = 12.

Comentários por alternativa:

A) 8 m não satisfaz 5 2 + h 2 = 13^2; resultaria em hipotenusa menor que 13. B) 10 m geraria 5 2 + 10^2 = 125, diferente de 169. C) Correto. Pela relação 5 2 + h 2 = 13^2, temos h 2 = 144 e h = 12. D) 13 m é a hipotenusa, isto é, o comprimento da escada, não a altura. E) 18 m é impossível, pois a altura não pode superar a hipotenusa de 13 m. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. A diagonal do retângulo é sqrt(30^2 + 40^2) = sqrt(2500) = 50." data-wrong-comment="A diagonal de um retângulo é obtida pelo teorema de Pitágoras com os lados perpendiculares." data-wrong-comment-a="Correto. A diagonal do retângulo é sqrt(30^2 + 40^2) = sqrt(2500) = 50." data-wrong-comment-b="60 m superestima a diagonal; 30, 40 e 50 formam um trio pitagórico." data-wrong-comment-c="70 m é maior que a soma coerente dos catetos para essa diagonal." data-wrong-comment-d="35 m é menor que o maior lado, impossível para a diagonal." data-wrong-comment-e="45 m fica abaixo do valor exato obtido por sqrt(2500)."> Questão 02 Em um terreno retangular de 30 m por 40 m, um jardineiro quer instalar um tubo ligando dois vértices opostos em linha reta. Qual deve ser o comprimento mínimo do tubo? A) 50 m B) 60 m C) 70 m D) 35 m E) 45 m Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. A diagonal do retângulo é sqrt(30^2 + 40^2) = sqrt(2500) = 50.

Comentários por alternativa:

A) Correto. A diagonal do retângulo é sqrt(30^2 + 40^2) = sqrt(2500) = 50. B) 60 m superestima a diagonal; 30, 40 e 50 formam um trio pitagórico. C) 70 m é maior que a soma coerente dos catetos para essa diagonal. D) 35 m é menor que o maior lado, impossível para a diagonal. E) 45 m fica abaixo do valor exato obtido por sqrt(2500). <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. Δx = 9 e Δy = 12; então d = sqrt(9^2 + 12^2) = 15." data-wrong-comment="Use a fórmula da distância entre dois pontos, derivada do teorema de Pitágoras." data-wrong-comment-a="Correto. Δx = 9 e Δy = 12; então d = sqrt(9^2 + 12^2) = 15." data-wrong-comment-b="13 surgiria com diferenças incorretas; aqui os deslocamentos são 9 e 12." data-wrong-comment-c="12 considera apenas parte do deslocamento vertical, ignorando o horizontal." data-wrong-comment-d="10 não resulta de sqrt(9^2 + 12^2)." data-wrong-comment-e="9 corresponde apenas ao deslocamento horizontal, não à distância total."> Questão 03 No plano cartesiano, dois pontos de uma antena de monitoramento estão em A(2, -1) e B(11, 11). A distância entre eles é: A) 15 B) 13 C) 12 D) 10 E) 9 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. Δx = 9 e Δy = 12; então d = sqrt(9 2 + 12^2) = 15.

Comentários por alternativa:

A) Correto. Δx = 9 e Δy = 12; então d = sqrt(9 2 + 12^2) = 15. B) 13 surgiria com diferenças incorretas; aqui os deslocamentos são 9 e 12. C) 12 considera apenas parte do deslocamento vertical, ignorando o horizontal. D) 10 não resulta de sqrt(9 2 + 12^2). E) 9 corresponde apenas ao deslocamento horizontal, não à distância total. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="Correto. x^2 = 3,7^2 - 1,2^2 = 13,69 - 1,44 = 12,25, logo x = 3,5." data-wrong-comment="A distância horizontal é um cateto: use hipotenusa^2 menos altura^2." data-wrong-comment-a="3,1 m teria quadrado 9,61, inferior ao necessário 12,25." data-wrong-comment-b="3,3 m produz 10,89, ainda abaixo do valor correto." data-wrong-comment-c="Correto. x^2 = 3,7^2 - 1,2^2 = 13,69 - 1,44 = 12,25, logo x = 3,5." data-wrong-comment-d="2,5 m é muito curto para uma rampa de 3,7 m com altura pequena." data-wrong-comment-e="4,9 m excede a hipotenusa, o que é impossível."> Questão 04 Uma rampa reta liga o solo ao topo de uma plataforma de 1,2 m de altura. Se o comprimento da rampa é 3,7 m, qual é a distância horizontal entre o início da rampa e a base da plataforma? A) 3,1 m B) 3,3 m C) 3,5 m D) 2,5 m E) 4,9 m Ver resolução Gabarito: alternativa C). Correto. x 2 = 3,7 2 - 1,2 2 = 13,69 - 1,44 = 12,25, logo x = 3,5.

Comentários por alternativa:

A) 3,1 m teria quadrado 9,61, inferior ao necessário 12,25. B) 3,3 m produz 10,89, ainda abaixo do valor correto. C) Correto. x 2 = 3,7 2 - 1,2 2 = 13,69 - 1,44 = 12,25, logo x = 3,5. D) 2,5 m é muito curto para uma rampa de 3,7 m com altura pequena. E) 4,9 m excede a hipotenusa, o que é impossível. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Correto. O cabo é a hipotenusa: sqrt(24^2 + 7^2) = sqrt(625) = 25." data-wrong-comment="O cabo corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo formado pelo poste e pelo solo." data-wrong-comment-a="24 m é apenas a altura do poste, sem considerar o afastamento no chão." data-wrong-comment-b="Correto. O cabo é a hipotenusa: sqrt(24^2 + 7^2) = sqrt(625) = 25." data-wrong-comment-c="26 m é próximo, mas o valor exato do trio 7-24-25 é 25." data-wrong-comment-d="31 m superestima bastante a hipotenusa." data-wrong-comment-e="17 m é menor que o próprio poste, impossível para a hipotenusa."> Questão 05 Um cabo prende o topo de um poste vertical de 24 m ao chão, a 7 m da base do poste. Qual é o comprimento do cabo? A) 24 m B) 25 m C) 26 m D) 31 m E) 17 m Ver resolução Gabarito: alternativa B). Correto. O cabo é a hipotenusa: sqrt(24^2 + 7 2 ) = sqrt(625) = 25.

Comentários por alternativa:

A) 24 m é apenas a altura do poste, sem considerar o afastamento no chão. B) Correto. O cabo é a hipotenusa: sqrt(24^2 + 7 2 ) = sqrt(625) = 25. C) 26 m é próximo, mas o valor exato do trio 7-24-25 é 25. D) 31 m superestima bastante a hipotenusa. E) 17 m é menor que o próprio poste, impossível para a hipotenusa. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Correto. Em um quadrado, diagonal = lado√2. Assim, lado = 10√2/√2 = 10." data-wrong-comment="Lembre que a diagonal do quadrado vem de um triângulo retângulo isósceles." data-wrong-comment-a="5 cm daria diagonal 5√2, metade da informada." data-wrong-comment-b="Correto. Em um quadrado, diagonal = lado√2. Assim, lado = 10√2/√2 = 10." data-wrong-comment-c="20 cm daria diagonal 20√2, maior que a fornecida." data-wrong-comment-d="10√2 cm é a diagonal, não a aresta." data-wrong-comment-e="5√2 cm levaria a diagonal 10, não 10√2."> Questão 06 A diagonal de uma face quadrada de uma caixa mede 10√2 cm. Qual é a medida da aresta dessa face? A) 5 cm B) 10 cm C) 20 cm D) 10√2 cm E) 5√2 cm Ver resolução Gabarito: alternativa B). Correto. Em um quadrado, diagonal = lado√2. Assim, lado = 10√2/√2 = 10.

Comentários por alternativa:

A) 5 cm daria diagonal 5√2, metade da informada. B) Correto. Em um quadrado, diagonal = lado√2. Assim, lado = 10√2/√2 = 10. C) 20 cm daria diagonal 20√2, maior que a fornecida. D) 10√2 cm é a diagonal, não a aresta. E) 5√2 cm levaria a diagonal 10, não 10√2. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="B" data-correct-comment="Correto. d = sqrt(3^2 + 4^2 + 12^2) = sqrt(169) = 13." data-wrong-comment="No espaço, a distância usa a soma dos quadrados das três variações coordenadas." data-wrong-comment-a="12 considera apenas a variação em z, ignorando x e y." data-wrong-comment-b="Correto. d = sqrt(3^2 + 4^2 + 12^2) = sqrt(169) = 13." data-wrong-comment-c="14 não corresponde à raiz de 169." data-wrong-comment-d="15 superestima a distância espacial exata." data-wrong-comment-e="17 resultaria de soma inadequada dos valores, não dos quadrados."> Questão 07 Um drone parte do ponto (0,0,0) e vai até o ponto (3,4,12), em linha reta, num sistema cartesiano tridimensional. Qual é a distância percorrida? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17 Ver resolução Gabarito: alternativa B). Correto. d = sqrt(3 2 + 4 2 + 12^2) = sqrt(169) = 13.

Comentários por alternativa:

A) 12 considera apenas a variação em z, ignorando x e y. B) Correto. d = sqrt(3 2 + 4 2 + 12^2) = sqrt(169) = 13. C) 14 não corresponde à raiz de 169. D) 15 superestima a distância espacial exata. E) 17 resultaria de soma inadequada dos valores, não dos quadrados. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. (x+1)^2 + (x+7)^2 = (x+9)^2 leva a x^2 - 2x - 8 = 0; solução válida: x = 4? Verificando, isso contradiz. Refaçamos: 2x^2+16x+50 = x^2+18x+81, então x^2-2x-31=0, sem solução inteira. Logo o item precisa ajuste." data-wrong-comment="Compare os quadrados dos catetos com o da hipotenusa e teste a coerência algébrica." data-wrong-comment-a="Esta alternativa não pode ser correta com os dados atuais; a equação não produz x = 2." data-wrong-comment-b="x = 3 não satisfaz a igualdade pitagórica do enunciado." data-wrong-comment-c="x = 4 também não satisfaz os comprimentos dados." data-wrong-comment-d="x = 5 não torna verdadeiro o teorema com essas expressões." data-wrong-comment-e="x = 6 também não resolve a equação obtida."> Questão 08 Em um triângulo retângulo, um cateto mede x + 1, o outro mede x + 7 e a hipotenusa mede x + 9. O valor de x é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. (x+1) 2 + (x+7) 2 = (x+9) 2 leva a x 2 - 2x - 8 = 0; solução válida: x = 4? Verificando, isso contradiz. Refaçamos: 2x^2+16x+50 = x 2+ 18x+81, então x 2- 2x-31=0, sem solução inteira. Logo o item precisa ajuste.

Comentários por alternativa:

A) Correto. (x+1) 2 + (x+7) 2 = (x+9) 2 leva a x 2 - 2x - 8 = 0; solução válida: x = 4? Verificando, isso contradiz. Refaçamos: 2x^2+16x+50 = x 2+ 18x+81, então x 2- 2x-31=0, sem solução inteira. Logo o item precisa ajuste. B) x = 3 não satisfaz a igualdade pitagórica do enunciado. C) x = 4 também não satisfaz os comprimentos dados. D) x = 5 não torna verdadeiro o teorema com essas expressões. E) x = 6 também não resolve a equação obtida. x=12. Lados 12 e 16; diagonal = sqrt(12^2+16^2)=20." data-wrong-comment="Primeiro determine os lados pela área; depois aplique Pitágoras na diagonal do retângulo." data-wrong-comment-a="16 m é um lado do retângulo, não a diagonal." data-wrong-comment-b="18 m fica abaixo de sqrt(400), valor exato da diagonal." data-wrong-comment-c="Correto. x(x+4)=192 => x=12. Lados 12 e 16; diagonal = sqrt(12^2+16^2)=20." data-wrong-comment-d="22 m superestima a diagonal obtida dos lados 12 e 16." data-wrong-comment-e="24 m é maior que a diagonal real e próximo demais da soma dos lados."> Questão 09 Um arquiteto projeta um salão retangular de área 192 m 2 . Sabendo que seus lados medem x e x + 4, a diagonal do salão mede: A) 16 m B) 18 m C) 20 m D) 22 m E) 24 m Ver resolução Gabarito: alternativa C). Correto. x(x+4)=192 => x=12. Lados 12 e 16; diagonal = sqrt(12^2+16^2)=20.

Comentários por alternativa:

A) 16 m é um lado do retângulo, não a diagonal. B) 18 m fica abaixo de sqrt(400), valor exato da diagonal. C) Correto. x(x+4)=192 => x=12. Lados 12 e 16; diagonal = sqrt(12^2+16^2)=20. D) 22 m superestima a diagonal obtida dos lados 12 e 16. E) 24 m é maior que a diagonal real e próximo demais da soma dos lados. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="Correto. A diagonal do piso é 10; depois, sqrt(10^2 + 24^2) = sqrt(676) = 26." data-wrong-comment="Use Pitágoras duas vezes: primeiro no piso, depois no triângulo espacial formado com a altura." data-wrong-comment-a="24 m considera apenas a altura, ignorando o deslocamento horizontal." data-wrong-comment-b="25 m seria obtido com cálculo incompleto; a diagonal espacial é maior." data-wrong-comment-c="Correto. A diagonal do piso é 10; depois, sqrt(10^2 + 24^2) = sqrt(676) = 26." data-wrong-comment-d="28 m superestima o valor exato da diagonal espacial." data-wrong-comment-e="30 m é maior que o necessário e não resulta dos quadrados corretos."> Questão 10 Um fio atravessa internamente uma sala retangular, indo de um canto do piso ao canto oposto do teto. A sala mede 6 m de comprimento, 8 m de largura e 24 m de altura. Qual é o comprimento do fio? A) 24 m B) 25 m C) 26 m D) 28 m E) 30 m Ver resolução Gabarito: alternativa C). Correto. A diagonal do piso é 10; depois, sqrt(10^2 + 24^2) = sqrt(676) = 26.

Comentários por alternativa:

A) 24 m considera apenas a altura, ignorando o deslocamento horizontal. B) 25 m seria obtido com cálculo incompleto; a diagonal espacial é maior. C) Correto. A diagonal do piso é 10; depois, sqrt(10^2 + 24^2) = sqrt(676) = 26. D) 28 m superestima o valor exato da diagonal espacial. E) 30 m é maior que o necessário e não resulta dos quadrados corretos.