Questões: Função do segundo grau 2

A função do segundo grau aparece em diversas situações do cotidiano e da ciência: trajetórias, áreas máximas, lucro, custo e modelagem de fenômenos. Em geral, ela é escrita na forma f(x)=ax^2+bx+c, com a diferente de zero. Seu gráfico é uma parábola, cuja concavidade depende do sinal de a, e elementos como raízes, vértice, eixo de simetria e valor máximo ou mínimo permitem interpretar o comportamento da função com precisão.

Em questões mais difíceis, não basta aplicar fórmulas mecanicamente: é essencial relacionar a expressão algébrica com o contexto descrito. Muitas vezes, o problema exige analisar intervalos, justificar sinais, comparar modelos ou reconstruir a função a partir de condições dadas. Por isso, as questões a seguir exploram leitura matemática, interpretação gráfica e raciocínio algébrico em situações contextualizadas.

Questões: Função do segundo grau 2 <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="Correto. O máximo ocorre no vértice: x=-b/(2a)=-24/(2·(-2))=6." data-wrong-comment="Revise o cálculo da abscissa do vértice, que determina o ponto de máximo." data-wrong-comment-a="x=4 não é a abscissa do vértice; substituindo, o lucro ainda cresce depois desse valor." data-wrong-comment-b="x=5 está antes do vértice; como a parábola é voltada para baixo, o máximo ocorre mais adiante." data-wrong-comment-c="Correto. O máximo ocorre no vértice: x=-b/(2a)=-24/(2·(-2))=6." data-wrong-comment-d="x=8 está após o vértice; depois do máximo, os valores da função diminuem." data-wrong-comment-e="x=10 está bem além do vértice; nesse trecho o lucro já está em queda."> Questão 01 Uma empresa modela o lucro diário L(x), em milhares de reais, pela função L(x)=-2x^2+24x-40, em que x é o número de centenas de unidades vendidas. Para qual valor de x o lucro é máximo? A) x=4 B) x=5 C) x=6 D) x=8 E) x=10 Ver resolução Gabarito: alternativa C). Correto. O máximo ocorre no vértice: x=-b/(2a)=-24/(2·(-2))=6.

Comentários por alternativa:

A) x=4 não é a abscissa do vértice; substituindo, o lucro ainda cresce depois desse valor. B) x=5 está antes do vértice; como a parábola é voltada para baixo, o máximo ocorre mais adiante. C) Correto. O máximo ocorre no vértice: x=-b/(2a)=-24/(2·(-2))=6. D) x=8 está após o vértice; depois do máximo, os valores da função diminuem. E) x=10 está bem além do vértice; nesse trecho o lucro já está em queda. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. Resolver -5t^2+20t+25=45 leva a t^2-4t+4=0, então t=2? Atenção: refazendo, resulta t^2-4t+4=0." data-wrong-comment="É preciso igualar a altura a 45 e resolver corretamente a equação do segundo grau." data-wrong-comment-a="Incorreta. Ao igualar a 45, obtém-se -5t^2+20t-20=0, então t^2-4t+4=0 e t=2." data-wrong-comment-b="Correto. Ao igualar a 45, obtém-se -5t^2+20t-20=0, então t^2-4t+4=0 e t=2." data-wrong-comment-c="t=3 gera h(3)=40, não 45." data-wrong-comment-d="t=4 gera h(4)=25, não 45." data-wrong-comment-e="t=5 gera h(5)=0, não 45."> Questão 02 A altura h(t), em metros, de um objeto lançado verticalmente é dada por h(t)=-5t^2+20t+25, com t em segundos. Em que instante o objeto atinge 45 m? A) t=1 s B) t=2 s C) t=3 s D) t=4 s E) t=5 s Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. Resolver -5t^2+20t+25=45 leva a t 2- 4t+4=0, então t=2? Atenção: refazendo, resulta t 2- 4t+4=0.

Comentários por alternativa:

A) Correto. Resolver -5t^2+20t+25=45 leva a t 2- 4t+4=0, então t=2? Atenção: refazendo, resulta t 2- 4t+4=0. B) Correto. Ao igualar a 45, obtém-se -5t^2+20t-20=0, então t 2- 4t+4=0 e t=2. C) t=3 gera h(3)=40, não 45. D) t=4 gera h(4)=25, não 45. E) t=5 gera h(5)=0, não 45. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. O vértice ocorre em x=6 e C(6)=36-72+50=14." data-wrong-comment="Use o vértice para achar o x do mínimo e depois calcule o valor da função." data-wrong-comment-a="Correto. O vértice ocorre em x=6 e C(6)=36-72+50=14." data-wrong-comment-b="x=5 não é o vértice; além disso, C(5)=15, não 16." data-wrong-comment-c="O x=6 está certo, mas C(6)=14, não 16." data-wrong-comment-d="O x=6 está certo, porém o valor mínimo foi calculado incorretamente." data-wrong-comment-e="Nem o ponto do mínimo nem o valor correspondem ao vértice da parábola."> Questão 03 O custo C(x) de produção de x lotes de um item é modelado por C(x)=x 2- 12x+50. Qual é o custo mínimo e em quantos lotes ele ocorre? A) 14, em x=6 B) 16, em x=5 C) 16, em x=6 D) 18, em x=6 E) 20, em x=5 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. O vértice ocorre em x=6 e C(6)=36-72+50=14.

Comentários por alternativa:

A) Correto. O vértice ocorre em x=6 e C(6)=36-72+50=14. B) x=5 não é o vértice; além disso, C(5)=15, não 16. C) O x=6 está certo, mas C(6)=14, não 16. D) O x=6 está certo, porém o valor mínimo foi calculado incorretamente. E) Nem o ponto do mínimo nem o valor correspondem ao vértice da parábola. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="Correto. A(x)=-2x^2+40x tem máximo no vértice, com x=10." data-wrong-comment="Monte ou analise a função quadrática da área e localize seu vértice." data-wrong-comment-a="Com x=5, a área ainda pode crescer até o vértice." data-wrong-comment-b="x=8 está antes do ponto de área máxima." data-wrong-comment-c="Correto. A(x)=-2x^2+40x tem máximo no vértice, com x=10." data-wrong-comment-d="x=12 está após o vértice; a área já começou a diminuir." data-wrong-comment-e="x=20 zera o lado paralelo ao muro, tornando a área nula."> Questão 04 Uma praça retangular será construída encostada em um muro, usando 40 m de cerca para apenas três lados. Se x é a medida de cada lado perpendicular ao muro, a área é A(x)=x(40-2x). Qual deve ser x para maximizar a área? A) 5 m B) 8 m C) 10 m D) 12 m E) 20 m Ver resolução Gabarito: alternativa C). Correto. A(x)=-2x^2+40x tem máximo no vértice, com x=10.

Comentários por alternativa:

A) Com x=5, a área ainda pode crescer até o vértice. B) x=8 está antes do ponto de área máxima. C) Correto. A(x)=-2x^2+40x tem máximo no vértice, com x=10. D) x=12 está após o vértice; a área já começou a diminuir. E) x=20 zera o lado paralelo ao muro, tornando a área nula. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. Completando quadrados: 2x^2-8x+5=2(x-2)^2-3." data-wrong-comment="Faça o fator comum no termo quadrático e complete quadrados com cuidado." data-wrong-comment-a="Correto. Completando quadrados: 2x^2-8x+5=2(x-2)^2-3." data-wrong-comment-b="O sinal dentro do quadrado ficou invertido; isso mudaria o termo linear para +8x." data-wrong-comment-c="O centro não é x=4; ao expandir, a expressão não coincide com a original." data-wrong-comment-d="O deslocamento vertical está incorreto; a expansão resulta em termo constante diferente de 5." data-wrong-comment-e="Há erro no sinal do termo linear e também no termo constante."> Questão 05 Considere a função f(x)=2x^2-8x+5. Qual é a forma canônica dessa função? A) f(x)=2(x-2) 2- 3 B) f(x)=2(x+2) 2- 3 C) f(x)=2(x-4) 2+ 5 D) f(x)=2(x-2) 2+ 3 E) f(x)=2(x+2) 2+ 3 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. Completando quadrados: 2x^2-8x+5=2(x-2) 2- 3.

Comentários por alternativa:

A) Correto. Completando quadrados: 2x^2-8x+5=2(x-2) 2- 3. B) O sinal dentro do quadrado ficou invertido; isso mudaria o termo linear para +8x. C) O centro não é x=4; ao expandir, a expressão não coincide com a original. D) O deslocamento vertical está incorreto; a expansão resulta em termo constante diferente de 5. E) Há erro no sinal do termo linear e também no termo constante. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. Resolver -x^2+6x-5=0 equivale a x^2-6x+5=0, cujas raízes são 1 e 5." data-wrong-comment="Para interceptar o eixo x, é preciso resolver a equação y=0 corretamente." data-wrong-comment-a="Correto. Resolver -x^2+6x-5=0 equivale a x^2-6x+5=0, cujas raízes são 1 e 5." data-wrong-comment-b="2 e 4 somam 6, mas o produto é 8, não 5." data-wrong-comment-c="Há uma raiz positiva correta, mas a outra deveria ser 1, não -1." data-wrong-comment-d="1 é raiz, mas 6 não zera a função." data-wrong-comment-e="As raízes não são negativas; a função zera em valores positivos."> Questão 06 Uma trajetória é modelada por y=-x 2+ 6x-5. Em quais valores de x a trajetória intercepta o eixo x? A) x=1 e x=5 B) x=2 e x=4 C) x=-1 e x=5 D) x=1 e x=6 E) x=-5 e x=-1 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. Resolver -x 2+ 6x-5=0 equivale a x 2- 6x+5=0, cujas raízes são 1 e 5.

Comentários por alternativa:

A) Correto. Resolver -x 2+ 6x-5=0 equivale a x 2- 6x+5=0, cujas raízes são 1 e 5. B) 2 e 4 somam 6, mas o produto é 8, não 5. C) Há uma raiz positiva correta, mas a outra deveria ser 1, não -1. D) 1 é raiz, mas 6 não zera a função. E) As raízes não são negativas; a função zera em valores positivos. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="C" data-correct-comment="Correto. O vértice está em x=2 e g(2)=4-8+7=3, valor mínimo." data-wrong-comment="Observe a concavidade e o valor do vértice para decidir sobre mínimo, máximo e sinal." data-wrong-comment-a="Como a concavidade é para cima, a função tem mínimo, não máximo." data-wrong-comment-b="O valor no vértice é 3, não -3." data-wrong-comment-c="Correto. O vértice está em x=2 e g(2)=4-8+7=3, valor mínimo." data-wrong-comment-d="O discriminante é 16-28=-12, então não há raízes reais." data-wrong-comment-e="Como o valor mínimo é 3, a função é sempre positiva."> Questão 07 Um pesquisador analisa a função g(x)=x 2- 4x+7 para x real. Qual afirmação é verdadeira sobre seus valores? A) A função assume valor máximo igual a 3 B) A função assume valor mínimo igual a -3 C) A função assume valor mínimo igual a 3 D) A função tem duas raízes reais distintas E) A função é sempre negativa Ver resolução Gabarito: alternativa C). Correto. O vértice está em x=2 e g(2)=4-8+7=3, valor mínimo.

Comentários por alternativa:

A) Como a concavidade é para cima, a função tem mínimo, não máximo. B) O valor no vértice é 3, não -3. C) Correto. O vértice está em x=2 e g(2)=4-8+7=3, valor mínimo. D) O discriminante é 16-28=-12, então não há raízes reais. E) Como o valor mínimo é 3, a função é sempre positiva. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. Fatorando: t^2-10t+21=(t-3)(t-7)." data-wrong-comment="Busque dois números cuja soma seja 10 e cujo produto seja 21." data-wrong-comment-a="Correto. Fatorando: t^2-10t+21=(t-3)(t-7)." data-wrong-comment-b="2 e 8 somam 10, mas o produto é 16, não 21." data-wrong-comment-c="1 e 21 têm produto 21, mas a soma é 22." data-wrong-comment-d="4 e 6 somam 10, porém o produto é 24." data-wrong-comment-e="A raiz dupla ocorreria se o discriminante fosse zero, o que não acontece aqui."> Questão 08 Uma indústria ajusta a produção por P(t)=t 2- 10t+21, com t em dias. Em quais dias a produção é nula? A) t=3 e t=7 B) t=2 e t=8 C) t=1 e t=21 D) t=4 e t=6 E) t=5 e t=5 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. Fatorando: t 2- 10t+21=(t-3)(t-7).

Comentários por alternativa:

A) Correto. Fatorando: t 2- 10t+21=(t-3)(t-7). B) 2 e 8 somam 10, mas o produto é 16, não 21. C) 1 e 21 têm produto 21, mas a soma é 22. D) 4 e 6 somam 10, porém o produto é 24. E) A raiz dupla ocorreria se o discriminante fosse zero, o que não acontece aqui. <section class="vw-oq-question qi-question" data-correct="A" data-correct-comment="Correto. Com raízes 2 e 6, f(x)=k(x-2)(x-6); usando f(0)=24, resulta k=2." data-wrong-comment="Use a forma fatorada com as raízes e depois determine o coeficiente pelo valor em x=0." data-wrong-comment-a="Correto. Com raízes 2 e 6, f(x)=k(x-2)(x-6); usando f(0)=24, resulta k=2." data-wrong-comment-b="Tem f(0)=24, mas as raízes dessa expressão não são 2 e 6." data-wrong-comment-c="Essa função não zera em x=6; ao substituir, o valor não é zero." data-wrong-comment-d="Nem as raízes nem o coeficiente linear correspondem às condições dadas." data-wrong-comment-e="Em x=2, essa expressão vale 8, então 2 não é raiz."> Questão 09 A função f(x)=ax^2+bx+c tem raízes 2 e 6 e satisfaz f(0)=24. Qual é a expressão de f(x)? A) f(x)=2x^2-16x+24 B) f(x)=x 2- 8x+24 C) f(x)=2x^2-8x+24 D) f(x)=x 2- 6x+24 E) f(x)=2x^2-12x+24 Ver resolução Gabarito: alternativa A). Correto. Com raízes 2 e 6, f(x)=k(x-2)(x-6); usando f(0)=24, resulta k=2.

Comentários por alternativa:

A) Correto. Com raízes 2 e 6, f(x)=k(x-2)(x-6); usando f(0)=24, resulta k=2. B) Tem f(0)=24, mas as raízes dessa expressão não são 2 e 6. C) Essa função não zera em x=6; ao substituir, o valor não é zero. D) Nem as raízes nem o coeficiente linear correspondem às condições dadas. E) Em x=2, essa expressão vale 8, então 2 não é raiz. 0 entre elas." data-wrong-comment="Encontre as raízes e use a concavidade para determinar onde a função fica acima do eixo x." data-wrong-comment-a="Esse intervalo é menor que o correto; a função ainda é positiva entre -2 e 0 e entre 4 e 6." data-wrong-comment-b="Correto. As raízes são -2 e 6; como a parábola é voltada para baixo, T(x)>0 entre elas." data-wrong-comment-c="Para parábola com concavidade para baixo, fora das raízes a função é negativa." data-wrong-comment-d="As raízes foram identificadas incorretamente; elas são -2 e 6." data-wrong-comment-e="A função assume valores negativos para x menores que -2 ou maiores que 6."> Questão 10 Um gráfico parabólico representa a temperatura T(x)= -x 2+ 4x+12, em graus, ao longo de um experimento. Em qual intervalo T(x) é positiva? A) Somente para 0 B) Para -2 C) Para x6 D) Para -6 E) Para todo x real Ver resolução Gabarito: alternativa B). Correto. As raízes são -2 e 6; como a parábola é voltada para baixo, T(x)>0 entre elas.

Comentários por alternativa:

A) Esse intervalo é menor que o correto; a função ainda é positiva entre -2 e 0 e entre 4 e 6. B) Correto. As raízes são -2 e 6; como a parábola é voltada para baixo, T(x)>0 entre elas. C) Para parábola com concavidade para baixo, fora das raízes a função é negativa. D) As raízes foram identificadas incorretamente; elas são -2 e 6. E) A função assume valores negativos para x menores que -2 ou maiores que 6.