Em uma progressão aritmética (PA), a soma dos termos pode ser calculada de forma eficiente sem precisar adicionar elemento por elemento. As fórmulas mais usadas são S_n = n(a1 + an)/2 e S_n = n[2a1 + (n – 1)r]/2, nas quais n é o número de termos, a1 é o primeiro termo, an é o último termo e r é a razão. Em questões mais difíceis, o desafio costuma estar menos na aplicação direta da fórmula e mais na interpretação da situação, na identificação correta das variáveis e na combinação da soma com outras informações do problema.
No Ensino Médio, problemas sobre soma dos termos da PA aparecem em contextos como economia, organização de eventos, padrões geométricos, produção industrial e planejamento financeiro. Para resolvê-los bem, é essencial perceber quando a sequência realmente é aritmética, montar a expressão correta para o termo geral ou para a soma e verificar a coerência do resultado. A seguir, você encontrará questões contextualizadas e desafiadoras que exigem atenção aos dados e raciocínio algébrico consistente.
Questões sobre soma dos termos da PA
Questão 01
Gabarito: alternativa B). Correto. A soma é S12 = 12[2·120 + 11·15]/2 = 2.430.
Questão 02
Gabarito: alternativa D). Correto. É uma PA com a1 = 18, r = 3 e n = 20, então S20 = 930.
Comentários por alternativa:
- A) Valor compatível com usar mais fileiras do que o enunciado informa.
- B) Esse resultado pode vir de calcular o último termo como 78, o que está errado.
- C) Provavelmente houve erro na soma dos extremos ou na razão.
- D) Correto. É uma PA com a1 = 18, r = 3 e n = 20, então S20 = 930.
- E) Parece resultado de aplicar fórmula de soma com n incorreto.
Questão 03
Gabarito: alternativa A). Correto. S_n = n[16 + 3(n-1)]/2 = 260 leva a n(3n + 13) = 520, logo n = 13.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. S_n = n[16 + 3(n-1)]/2 = 260 leva a n(3n + 13) = 520, logo n = 13.
- B) Com 11 semanas, a soma ainda não atinge 260 km.
- C) Em 12 semanas, a soma é 294 km? Não; verifique substituindo corretamente.
- D) Com 10 semanas, a soma fica menor que 260 km.
- E) Com 14 semanas, a soma ultrapassa o total indicado.
Questão 04
Gabarito: alternativa E). Correto. S_n = n[10 + 4(n-1)]/2 = 320, então n(2n + 3) = 160, resultando n = 10.
Comentários por alternativa:
- A) Em 8 dias, a soma ainda fica bem abaixo de R$ 320.
- B) Com 9 dias, o total não chega ao valor informado.
- C) Com 12 dias, o total fica acima do valor dado.
- D) Em 11 dias, a soma já ultrapassa R$ 320.
- E) Correto. S_n = n[10 + 4(n-1)]/2 = 320, então n(2n + 3) = 160, resultando n = 10.
Questão 05
Gabarito: alternativa C). Correto. S_n = n[14 + 2(n-1)]/2 = n(n + 6) = 352, então n = 16.
Comentários por alternativa:
- A) Com 14 fileiras, a soma total ainda é menor que 352.
- B) Em 15 fileiras, o total não atinge 352 peças.
- C) Correto. S_n = n[14 + 2(n-1)]/2 = n(n + 6) = 352, então n = 16.
- D) Com 17 fileiras, a quantidade total excede 352.
- E) Em 18 fileiras, o total fica ainda maior que o necessário.
Questão 06
Gabarito: alternativa B). Correto. A PA é decrescente: a1 = 40, r = -2, n = 15. Logo, S15 = 465.
Comentários por alternativa:
- A) Valor um pouco abaixo; possivelmente erro ao achar o último termo.
- B) Correto. A PA é decrescente: a1 = 40, r = -2, n = 15. Logo, S15 = 465.
- C) Esse total pode surgir ao ignorar que a PA é decrescente.
- D) Parece resultado de usar razão positiva em vez de negativa.
- E) Exagerado para uma sequência que diminui a cada fila.
Questão 07
Gabarito: alternativa E). Correto. Com primeiro e último termos, S13 = 13(52 + 124)/2 = 1.144? Atenção: isso dá 1.144.
Comentários por alternativa:
- A) Valor abaixo do correto; revise a soma de 52 com 124.
- B) Valor acima do correto; provavelmente houve multiplicação incorreta.
- C) Correto. S13 = 13(52 + 124)/2 = 1.144.
- D) Esse total pode vir de erro na divisão por 2.
- E) Correto. Com primeiro e último termos, S13 = 13(52 + 124)/2 = 1.144? Atenção: isso dá 1.144.
Questão 08
Gabarito: alternativa A). Correto. S_n = n[24 + 3(n-1)]/2 = 432, o que leva a n(n + 7) = 288; assim, n = 16.
Comentários por alternativa:
- A) Correto. S_n = n[24 + 3(n-1)]/2 = 432, o que leva a n(n + 7) = 288; assim, n = 16.
- B) Em 15 dias, o total permanece abaixo do informado.
- C) Com 14 dias, a soma ainda não chega a 432 páginas.
- D) Com 17 dias, a soma já ultrapassa 432 páginas.
- E) Em 18 dias, o excesso em relação ao total é ainda maior.
Questão 09
Gabarito: alternativa D). Correto. A PA vai de 25 até 5 com razão -2, totalizando 11 termos. Então S = 11(25 + 5)/2 = 165? Atenção: isso dá 165.
Comentários por alternativa:
- A) Valor muito baixo para 11 fileiras entre 25 e 5 vagas.
- B) Esse número pode vir de calcular menos termos do que o correto.
- C) Valor intermediário, mas não corresponde à soma real da PA.
- D) Correto. A PA vai de 25 até 5 com razão -2, totalizando 11 termos. Então S = 11(25 + 5)/2 = 165? Atenção: isso dá 165.
- E) Correto. São 11 termos, e S = 11·30/2 = 165.
Questão 10
Gabarito: alternativa C). Correto. S18 = 18[2·14 + 17·4]/2 = 18(96)/2 = 864.
Comentários por alternativa:
- A) Resultado abaixo; provavelmente houve erro em 17·4 ou na divisão por 2.
- B) Esse valor pode surgir ao usar razão 5 em vez de 4.
- C) Correto. S18 = 18[2·14 + 17·4]/2 = 18(96)/2 = 864.
- D) Valor acima do correto; revise o cálculo algébrico.
- E) Provavelmente você superestimou o último termo ou o número de degraus.
Comentários por alternativa: